Elements of Mathematical Logic
Anfangsgründe der mathematischen Logik
Michael Meyling
Summary\index{summary}
Zusammenfassung\index{Zusammenfassung}
Foreword
Vorwort
Introduction
Einleitung
Language
Sprache
Terms\index{term} and Formulas\index{formula}
Terme\index{Term} und Formeln\index{Formel}
0\}$, the \emph{function constants}\index{function constant}\index{constant!function}\footnote{Function constants are also introduced for convenience and are used for direct defined class functions. For example to define building of the power class operator, the union and intersection operator and the successor function. All these function constants can be interpreted as abbreviations.} $H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, the \emph{subject variables}\index{subject variable}\index{variable!subject} $V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, as well as
\emph{predicate variables}\index{predicate variable}\index{variable!predicate} $P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$.\footnote{By $\omega$ we understand the natural numbers including zero. All involved symbols are pairwise disjoint.
Therefore we can conclude for example: $f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$ and $h^k_i \neq v_j$.}
For the \emph{arity}\index{arity} or \emph{rank}\index{rank} of an operator we take the upper index. The set of predicate variables with zero arity is also called set of \emph{proposition variables}\index{proposition variable}\index{variable!proposition} or \emph{sentence letters}\index{sentence letters}: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$.
For subject variables we write short hand certain lower letters: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'},
\mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'}, \mbox{$v_5 = $ `$z$'}.
Furthermore we use the following short notations: for the predicate variables $p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', where the appropriate arity $n$ is calculated by counting the subsequent parameters, for the proposition variables
$a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' and $a_3 = $ `$C$', for the function variables: $f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', where again the appropriate arity $n$ is calculated by counting the subsequent parameters. All binary propositional operators are written in infix notation. Parentheses surrounding groups of operands and operators are necessary to indicate the
intended order in which operations are to be performed. E.~g. for the operator $\land$ with the parameters $A$ and $B$ we write $(A \land B)$.
In the absence of parentheses the usual precedence rules determine the order of operations. Especially outermost parentheses are omitted. Also empty parentheses are stripped.
\par
The operators have the order of precedence described below (starting with the highest).
$$
\begin{array}{c}
\neg, \forall, \exists \\
\land \\
\lor \\
\rightarrow, \leftrightarrow \\
\end{array}
$$
\par
The term \emph{term\index{term}} is defined recursively as follows:
\begin{enumerate}
\item Every subject variable is a term.
\item Let $i, k \in \omega$ and let $t_1$, \ldots, $t_k$ be terms. Then $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ is a term and if $k > 0$, so $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ is a term too.
\end{enumerate}
Therefore all zero arity function constants $\{h^0_i~|~i \in \omega\}$ are terms. They are called \emph{individual constants}\index{individual constant}\index{constant!individual}.\footnote{In an analogous manner subject variables might be defined as function variables of zero arity. Because subject variables play an important role they have their own notation.}
\par
We define a \emph{formula\index{formula}} and the relations \emph{free}\index{bound subject variable}\index{subject variable!free} and \emph{bound}\index{bound subject variable}\index{subject variable!bound} subject variable recursivly as follows:
\begin{enumerate}
\item Every proposition variable is a formula. Such formulas contain no free or bound subject variables.
\item If $p^k$ is a predicate variable with arity $k$ and $c^k$ is a predicate constant with arity $k$ and $t_1, t_2, \ldots, t_k$ are terms, then $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ and $c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ are formulas. All subject variables that occur at least in one of $t_1, t_2, \ldots, t_k$ are free subject variables. Bound subject variables does not occur.\footnote{This second item includes the first one, which is only listed for clarity.}
\item Let $\alpha, \beta$ be formulas in which no subject variables occur bound in one formula and free in the other. Then $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$, $(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$ and $(\alpha \leftrightarrow \beta)$ are also formulas. Subject variables which occur free (respectively bound) in $\alpha$ or $\beta$ stay free (respectively bound).
\item If in the formula $\alpha$ the subject variable $x_1$ occurs not bound\footnote{This means that $x_1$ is free in the formula or does not occur at all.}, then also $\forall x_1~\alpha$ and $\exists x_1~\alpha$ are formulas. The symbol $\forall$ is called \emph{universal quantifier}\index{universal quantifier}\index{quantifier!universal} and $\exists$ as
\emph{existential quantifier}\index{existential quantifier}\index{quantifier!existential}.
Except for $x_1$ all free subject variables of $\alpha$ stay free. All bound subject variables are still bound and additionally $x_1$ is bound too.
\end{enumerate}
All formulas that are only built by usage of 1. and 3. are called formulas of the \emph{propositional calculus}\index{propositional calculus}\index{calculus!propositional}.
\par
For each formula $\alpha$ the following proposition holds: the set of free subject variables is disjoint with the set of bound subject variables..\footnote{Other formalizations allow for example $\forall x_1~\alpha$ also if $x_1$ occurs already bound within $\alpha$. Also propositions like $\alpha(x_1)~\land~(\forall~x_1~\beta)$ are allowed. In this formalizations
free and bound are defined for a single occurrence of a variable.}
\par
If a formula has the form $\forall x_1 ~ \alpha$ respectively $\exists x_1 ~ \alpha$ then the formula $\alpha$ is called the
\emph{scope}\index{scope}\index{quantifier!scope} of the quantifier $\forall$ respectively $\exists$.
\par
All formulas that are used to build up a formula by 1. to 4. are called \emph{part formulas}\index{part formula}\index{formula!part}.
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0\}$, die \emph{Funktionskonstanten}\index{Funktionskonstanten}\index{Konstante!Funktions-}\footnote{Funktionskonstanten dienen ebenfalls der Bequemlichkeit und werden später für direkt
definierte Klassenfunktionen verwendet. So zum Beispiel zur Potenzklassenbildung, zur Vereinigungsklassenbildung und für die
Nachfolgerfunktion. All diese Funktionskonstanten können auch als Abkürzungen verstanden werden.}
$H = \{h^k_i~|~i, k \in \omega\}$, die \emph{Subjektvariablen}\index{Subjektvariable}\index{Variable!Subjekt-}
$V = \{v_i~|~i \in \omega\}$, sowie die \emph{Prädikatenvariablen}\index{Prädikatenvariable}\index{Variable!Prädikaten-}
$P = \{p^k_i~|~i, k \in \omega\}$ vor.\footnote{Unter $\omega$ werden die natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, verstanden. Alle bei den Mengenbildungen beteiligten Symbole werden als paarweise verschieden vorausgesetzt. Das bedeutet z.~B.: $f^k_i = f^{k'}_{i'} \rightarrow (k = k' \land i = i')$ und $h^k_i \neq v_j$.} Unter der \emph{Stellenzahl} eines Operators wird der obere Index verstanden. Die Menge der nullstelligen Prädikatenvariablen wird auch als Menge der
\emph{Aussagenvariablen}\index{Aussagenvariable}\index{Variable!Aussagen-} bezeichnet: $A := \{p_i^0~|~i \in \omega \}$.
Für die Subjektvariablen werden abkürzend auch bestimmte Kleinbuchstaben geschrieben. Die Kleinbuchstaben stehen für verschiedene Subjektvariablen: \mbox{$v_1 = $ `$u$'}, \mbox{$v_2 = $ `$v$'}, \mbox{$v_3 = $ `$w$'}, \mbox{$v_4 = $ `$x$'}, \mbox{$v_5 = $ `$y$'}, \mbox{$v_5 = $ `$z$'}. Weiter werden als Abkürzungen verwendet: für die Prädikatenvariablen $p^n_1 = $ `$\phi$' und $p^n_2 = $ `$\psi$', wobei die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird, für die Aussagenvariablen $a_1 = $ `$A$', $a_2 = $ `$B$' und $a_3 = $ `$C$'. Als Abkürzungen für Funktionsvariablen wird festgelegt $f^n_1 = $ `$f$' und $f^n_2 = $ `$g$', wobei wiederum die jeweilige Stellenanzahl $n$ aus der Anzahl der nachfolgenden Parameter ermittelt wird. Bei allen aussagenlogischen zwei\-stelligen Operatoren wird der leichteren Lesbarkeit wegen die Infixschreibweise benutzt, dabei werden die Symbole `(' und `)' verwandt.
D.~h. für den Operator $\land$ mit den Argumenten $A$ und $B$ wird $(A \land B)$ geschrieben.
Es gelten die üblichen Operatorprioritäten und die dazugehörigen Klammerregeln. Insbesondere die äußeren Klammern werden in der Regel weggelassen. Auch werden leere Klammern nicht geschrieben.
\par
Nachfolgend werden die Operatoren mit absteigender Priorität aufgelistet.
$$
\begin{array}{c}
\neg, \forall, \exists \\
\land \\
\lor \\
\rightarrow, \leftrightarrow \\
\end{array}
$$
\par
Der Begriff \emph{Term\index{Term}} wird im Folgenden rekursiv definiert:
\begin{enumerate}
\item Jede Subjektvariable ist ein Term. \item Seien $i, k \in \omega$ und $t_1$, \ldots, $t_k$ Terme. Dann ist auch $h^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ und falls $k > 0$, so auch $f^k_i(t_1, \ldots, t_k)$ ein Term.
\end{enumerate}
Alle nullstelligen Funktionskonstanten $\{h^0_i~|~i, \in \omega\}$ sind demzufolge Terme, sie werden auch
\emph{Individuenkonstanten}\index{Individuenkonstante}\index{Konstante!Individuen-} genannt.\footnote{Analog dazu könnten Subjektvariablen auch als nullstellige Funktionsvariablen definiert werden. Da die Subjektvariablen jedoch eine hervorgehobene Rolle spielen, werden sie auch gesondert bezeichnet.}
\par
Die Begriffe \emph{Formel\index{Formel}}, \emph{freie\index{freie Subjektvariable}\index{Subjektvariable!freie}} und
\emph{gebundene\index{gebundene Subjektvariable}\index{Subjektvariable!gebundene}} Subjektvariable werden rekursiv wie folgt definiert:
\begin{enumerate}
\item Jede Aussagenvariable ist eine Formel, solche Formeln enthalten keine freien oder gebundenen Subjektvariablen.
\item Ist $p^k$ eine $k$-stellige Prädikatenvariable und $c^k$ eine $k$-stellige Prädikatenkonstante und sind $t_1, t_2, \ldots, t_k$ Terme, so sind $p^k(t_1, t_2, \ldots t_k)$ und $c^k(t_1, t_2, \ldots, t_k)$ Formeln. Dabei gelten alle in
$t_1, t_2, \ldots, t_k$ vorkommenden Subjektvariablen als freie Subjektvariablen, gebundene Subjektvariablen kommen nicht
vor.\footnote{Dieser zweite Punkt umfasst den ersten, welcher nur der Anschaulichkeit wegen extra aufgeführt ist.}
\item Es seien $\alpha, \beta$ Formeln, in denen keine Subjektvariablen vorkommen, die in einer Formel gebunden und in der anderen frei sind. Dann sind auch $\neg \alpha$, $(\alpha \land \beta)$, $(\alpha \lor \beta)$, $(\alpha \rightarrow \beta)$, $(\alpha \leftrightarrow \beta)$ Formeln. Subjektvariablen, welche in $\alpha$ oder $\beta$ frei (bzw. gebunden) vorkommen, bleiben frei (bzw. gebunden).
\item Falls in der Formel $\alpha$ die Subjektvariable $x_1$ nicht gebunden vorkommt\footnote{D.~h. $x_1$ kommt höchstens frei vor.}, dann sind auch $\forall x_1~\alpha$ und $\exists x_1~\alpha$ Formeln. Dabei wird $\forall$ als
\emph{Allquantor}\index{Allquantor}\index{Quantor!All-} und $\exists$ als \emph{Existenzquantor}\index{Existenzquantor}\index{Quantor!Existenz-} bezeichnet. Bis auf $x_1$ bleiben alle freien Subjektvariablen von $\alpha$ auch frei, und zu den gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ kommt $x_1$ hinzu.
\end{enumerate}
Alle Formeln die nur durch Anwendung von 1. und 3. gebildet werden, heißen Formeln der \emph{Aussagenalgebra}.
\par
Es gilt für jede Formel $\alpha$: die Menge der freien und der gebundenen Subjektvariablen von $\alpha$ sind disjunkt.\footnote{Andere Formalisierungen erlauben z.~B. $\forall x_1~\alpha$ auch dann, wenn $x_1$ schon in $\alpha$ gebunden vorkommt. Auch Ausdrücke wie $\alpha(x_1)~\land~(\forall~x_1~\beta)$ sind erlaubt. Es wird dann
für ein einzelnes Vorkommen einer Variablen definiert, ob es sich um ein freies oder gebundenes Vorkommen handelt.}
\par
Falls eine Formel die Gestalt $\forall x_1 ~ \alpha$ bzw. $\exists x_1 ~ \alpha$ besitzt, dann heißt die Formel $\alpha$ der
\emph{Wirkungsbereich} des Quantors $\forall$ bzw. $\exists$.
\par
Alle Formeln, die beim Aufbau einer Formel mittels 1. bis 4. benötigt werden, heißen \emph{Teilformeln}.
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Axioms and Rules of Inference
Axiome und Schlussregeln
Axioms\index{axioms!of predicate calculus}\index{predicate calculus!axioms}
Axiome\index{Axiome!der Prädikatenlogik}\index{Prädikatenlogik!Axiome der}
axiom of disjunction idempotence
Axiom der Oder-Kürzung
Disjunction Idempotence\index{axiom!of disjunction idempotence}
Oder-Kürzung\index{Axiom!der Oder-Kürzung}
axiom of weakening
Axiom der Oder-Verdünnung
Axiom of Weakening\index{axiom!of weakening}
Oder-Verdünnung\index{Axiom!der Oder-Verdünnung}
commutativity of the disjunction
Kommutativgesetz der Oder-Verknüpfung
Commutativity of the Disjunction\index{axiom!of weakening}
Oder-Vertauschung\index{Axiom!der Oder-Vertauschung}
axiom of disunctive addition
Axiom der Oder-Vorsehung
Disjunctive Addition\index{axiom!of disjunctive addition}
Oder-Vorsehung\index{Axiom!der Oder-Vorsehung}
axiom of universal instantiation
Axiom der Spezialisierung
Universal Instantiation\index{axiom!of universal instantiation}
Spezialisierung\index{Axiom!der Spezialisierung}
axiom of existential generalization
Axiom der Existenz
Existential Generalization\index{axiom!of existential generalization}
Existenz\index{Axiom!der Existenz}
Rules of Inference\index{rules!of predicate calculus}\index{rules!of inference}
Ableitungsregeln\index{Regeln!predikatenlogische}
modus ponens
Modus Ponens
Modus Ponens\index{Modus Ponens}
Abtrennung, Modus Ponens\index{Modus Ponens}\index{Abtrennungsregel}
replace free subject variable
Ersetzung für freie Subjektvariable
Replace Free Subject Variable
Ersetzung für freie Subjektvariable
rename bound subject variable
Umbenennung für gebundene Subjektvariable
Rename Bound Subject Variable
Umbenennung für gebundene Subjektvariable
replace predicate variable
Einsetzung für Prädikatenvariable
Replace Predicate Variable
Einsetzung für Prädikatenvariable
replace function variable
Einsetzung für Funktionsvariable
Replace Function Variable
Einsetzung für Funktionsvariable
introduction of universal quantifier
Hintere Generalisierung
Universal Quantifier Introduction
Hintere Generalisierung\index{Generalisierung!hintere}
introduction of existential quantifier
Vordere Partikularisierung
Existential Quantifier Introduction
Vordere Partikularisierung\index{Partikularisierung!vordere}
Derived Propositions
Abgeleitete Sätze
Propositional Calculus
Aussagenlogik
true
wahr
True\index{true}
Wahr\index{wahr}
\top
false
falsch
False\index{false}
Falsch\index{falsch}
\bot
basic propositions
Elementare Sätze
Basic Propositions\index{propositions!of propositional calculus}
Elementare Sätze\index{Sätze!der Aussagenlogik}
Predicate Calculus
Prädikatenlogik
basic propositions
Elementare Sätze
Basic Propositions\index{propositions!of predicate calculus}
Elementare Sätze\index{Sätze!der Prädikaten}
Derived Rules
Abgeleitete Regeln
replace by logical equivalent formula
Ersetzung durch logisch äquivalente Formel
Replace by Logical Equivalent Formula
Ersetzung durch logisch äquivalente Formeln
replace $\top$ by true formula
Ersetzung von $\top$ durch wahre Formel
Replacement of $\top$ by already derived formula
Ersetzung von $\top$ durch bereits abgeleitete Formel
replace true formula by $\top$
Ersetzung von wahrer Formel durch $\top$
Replacement of already derived formula by $\top$
Ersetzung von bereits abgeleiteter Formel durch $\top$
derived quantification
abgeleitete Quantifizierung
Derived Quantification
Abgeleitete Quantifizierung
general associativity
allgemeine Assoziativität
General Associativity
Allgemeine Assoziativität
allgemeine Kommutativität
general commutativity
General Commutativity
Allgemeine Kommutativität
Ableitbarkeit aus einer Formel
deducible from formula
Deducible from Formula\index{deducible}
Ableitbarkeit aus einer Formel\index{ableitbar}
allgemeine Kommutativität
Deduktionstheorem
Deduction Theorem\index{deduction theorem}
Deduktionstheorem\index{Deduktionstheorem}
Identity
Identität
Identity Axioms
Axiome der Identität
identity definition
Definition der Identität
Identity\index{identity}\index{definition!of identity}
Identität\index{Identität}\index{Definition!der Identität}
#1 \ = \ #2
not identical definition
Definition der Verschiedenheit
Not Identical\index{identical!is not}
Verschiedenheit\index{Verschiedenheit}\index{Definition!der Verschiedenheit}
#1 \ \neq \ #2
reflexivity of identity
Reflexivität der Identität
Reflexivity of Identity\index{reflexivity!of identity}\index{identy!reflexivity of}
Reflexivität der Identität\index{Reflexivität!der Identität}\index{Identität!Reflexivität der}
Leibniz' replacement
Leibnizsche Ersetzbarkeit
Leibniz' replacement\index{Leibniz' replacement}
Leibnizsche Ersetzbarkeit\index{Leibnizsche Ersetzbarkeit}
symmetry of identity
Symmetrie der Identität
Symmetrie of identity\index{identity!symmetry of}
Symmetrie der Identität\index{Identität!Symmetrie der}
transetivity of identity
Transitivität der Identität
Transitivity of identity\index{identity!transetivity of}
Transitivität der Identität\index{Identität!Transitivität der}
Restricted Quantifiers\index{quantifiers!restriced}
Eingeschränkte Quantoren\index{Quantor!eingeschränkter}
definition restricted universal quantifier
Definition eingeschränker Allquantor
Restricted Universal Quantifier\index{universal quantifier, restricted}
Eingeschränkter Allquantor\index{Allquantor!eingeschränkter}
definition restricted existential quantifier
Definition eingeschränker Existenzquantor
Restricted Existential Quantifier\index{existential quantifier, restricted}
Eingeschränkter Existenz\index{Existenzquantor!eingeschränkter}
definition restricted uniqueness quantifier
Definition eingeschränker Existenzquantor für genau ein Individuum
Restricted Uniqueness Quantifier\index{uniqueness quantifier, restricted}
Eingeschränkter Existenz für genau ein Individuum\index{Existenzquantor!eingeschränkter für ein Individuum}
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