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Further Theorems of Propositional Calculus

name: prophilbert3, module version: 1.00.00, rule version: 1.00.00, original: prophilbert3, author of this module: Michael Meyling

Description

This module includes proofs of popositional calculus theorems. The following theorems and proofs are adapted from D. Hilbert and W. Ackermann's `Grundzuege der theoretischen Logik' (Berlin 1928, Springer)

References

This document uses the results of the following documents:

Content

First distributive law (first direction):

1. Proposition
      (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))     (hilb36)

Proof:
1 (P ∧ Q) → P add proposition hilb24
2 (P ∧ A) → P replace proposition variable Q by A in 1
3 (B ∧ A) → B replace proposition variable P by B in 2
4 (Q ∧ A) → Q replace proposition variable B by Q in 3
5 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4
6 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 5
7 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 6
8 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 7
9 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 8
10 (D → Q) → ((P ∨ D) → (P ∨ Q)) replace proposition variable C by Q in 9
11 ((Q ∧ A) → Q) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) replace proposition variable D by Q ∧ A in 10
12 (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q) modus ponens with 4, 11
13 (P ∧ Q) → Q add proposition hilb25
14 (P ∧ A) → A replace proposition variable Q by A in 13
15 (B ∧ A) → A replace proposition variable P by B in 14
16 (Q ∧ A) → A replace proposition variable B by Q in 15
17 (D → A) → ((P ∨ D) → (P ∨ A)) replace proposition variable C by A in 9
18 ((Q ∧ A) → A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) replace proposition variable D by Q ∧ A in 17
19 (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A) modus ponens with 16, 18
20 P → (Q → (P ∧ Q)) add proposition hilb28
21 P → (A → (P ∧ A)) replace proposition variable Q by A in 20
22 B → (A → (B ∧ A)) replace proposition variable P by B in 21
23 B → ((P ∨ A) → (B ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable A by P ∨ A in 22
24 (P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by P ∨ Q in 23
25 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1
26 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 25
27 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 26
28 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 27
29 (D → C) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → C)) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 28
30 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29
31 ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by P ∨ Q in 30
32 ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 24, 31
33 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 12, 32
34 (P → (Q → A)) → (Q → (P → A)) add proposition hilb16
35 (P → (Q → B)) → (Q → (P → B)) replace proposition variable A by B in 34
36 (P → (C → B)) → (C → (P → B)) replace proposition variable Q by C in 35
37 (D → (C → B)) → (C → (D → B)) replace proposition variable P by D in 36
38 (D → (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (C → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37
39 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 38
40 ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by P ∨ (Q ∧ A) in 39
41 (P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 33, 40
42 (D → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29
43 ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by P ∨ A in 42
44 ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 41, 43
45 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 19, 44
46 (P → (P → Q)) → (P → Q) add proposition hilb33
47 (P → (P → A)) → (P → A) replace proposition variable Q by A in 46
48 (B → (B → A)) → (B → A) replace proposition variable P by B in 47
49 (B → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 48
50 ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 49
51 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 45, 50
qed

First distributive law (second direction):

2. Proposition
      ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))     (hilb37)

Proof:
1 P → (Q → (P ∧ Q)) add proposition hilb28
2 P → (A → (P ∧ A)) replace proposition variable Q by A in 1
3 B → (A → (B ∧ A)) replace proposition variable P by B in 2
4 Q → (A → (Q ∧ A)) replace proposition variable B by Q in 3
5 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4
6 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 5
7 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 6
8 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 7
9 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 8
10 (D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by Q ∧ A in 9
11 (A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable D by A in 10
12 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1
13 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 12
14 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 13
15 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 14
16 (D → C) → ((Q → D) → (Q → C)) replace proposition variable B by Q in 15
17 (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → D) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 16
18 ((A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by A → (Q ∧ A) in 17
19 (Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 11, 18
20 Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 4, 19
21 (P → (Q → A)) → (Q → (P → A)) add proposition hilb16
22 (P → (Q → B)) → (Q → (P → B)) replace proposition variable A by B in 21
23 (P → (C → B)) → (C → (P → B)) replace proposition variable Q by C in 22
24 (D → (C → B)) → (C → (D → B)) replace proposition variable P by D in 23
25 (D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 24
26 (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 25
27 (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by Q in 26
28 (P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 20, 27
29 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ D) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 9
30 (Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by Q in 29
31 (D → C) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → C)) replace proposition variable B by P ∨ A in 15
32 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 31
33 ((Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by Q → (P ∨ (Q ∧ A)) in 32
34 ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 30, 33
35 (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 28, 34
36 (P ∨ (Q ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∨ A) add proposition hilb14
37 (P ∨ (Q ∨ B)) → ((P ∨ Q) ∨ B) replace proposition variable A by B in 36
38 (P ∨ (C ∨ B)) → ((P ∨ C) ∨ B) replace proposition variable Q by C in 37
39 (D ∨ (C ∨ B)) → ((D ∨ C) ∨ B) replace proposition variable P by D in 38
40 (D ∨ (C ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ C) ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable B by Q ∧ A in 39
41 (D ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable C by P in 40
42 (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable D by P in 41
43 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1
44 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2
45 (D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 8
46 (D → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 45
47 ((P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 46
48 (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 42, 47
49 (P → B) → (¬P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 43
50 (C → B) → (¬C ∨ B) replace proposition variable P by C in 49
51 (C → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 50
52 ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 51
53 (D → C) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 15
54 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53
55 ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 54
56 (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 48, 55
57 ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 52, 56
58 (¬P ∨ B) → (P → B) replace proposition variable Q by B in 44
59 (¬C ∨ B) → (C → B) replace proposition variable P by C in 58
60 (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 59
61 (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 60
62 (D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53
63 ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 62
64 (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 61, 63
65 ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 57, 64
66 (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 8
67 (D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 66
68 (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 67
69 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 65, 68
70 (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 50
71 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by P ∨ A in 70
72 (D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 15
73 (D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72
74 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 73
75 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 69, 74
76 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 71, 75
77 (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 59
78 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 77
79 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72
80 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 79
81 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 78, 80
82 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 76, 81
83 (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 35, 82
84 (P ∨ P) → P add proposition hilb11
85 (D → C) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ C)) replace proposition variable B by Q ∧ A in 8
86 (D → P) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ P)) replace proposition variable C by P in 85
87 ((P ∨ P) → P) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) replace proposition variable D by P ∨ P in 86
88 ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P) modus ponens with 84, 87
89 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3
90 (P ∨ B) → (B ∨ P) replace proposition variable Q by B in 89
91 (C ∨ B) → (B ∨ C) replace proposition variable P by C in 90
92 (C ∨ P) → (P ∨ C) replace proposition variable B by P in 91
93 ((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable C by Q ∧ A in 92
94 (D → C) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → C)) replace proposition variable B by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 15
95 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 94
96 (((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ P in 95
97 (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 93, 96
98 ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 88, 97
99 (C ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ C) replace proposition variable B by Q ∧ A in 91
100 ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) replace proposition variable C by P ∨ P in 99
101 (D → C) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 15
102 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 101
103 (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 102
104 (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 98, 103
105 ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 100, 104
106 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 45
107 (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 106
108 (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 105, 107
109 (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 50
110 ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 109
111 (D → C) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 15
112 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 111
113 ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 112
114 (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 108, 113
115 ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 110, 114
116 (¬C ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → (C → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 59
117 (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 116
118 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 111
119 ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 118
120 (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 117, 119
121 ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 115, 120
122 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 66
123 (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 122
124 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 121, 123
125 (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 50
126 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 125
127 (D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 15
128 (D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127
129 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 128
130 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 124, 129
131 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 126, 130
132 (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 59
133 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 132
134 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127
135 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 134
136 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 133, 135
137 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 131, 136
138 (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 83, 137
139 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 25
140 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by P ∨ A in 139
141 (P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 138, 140
142 (P → (Q → A)) → ((P ∧ Q) → A) add proposition hilb29
143 (P → (Q → B)) → ((P ∧ Q) → B) replace proposition variable A by B in 142
144 (P → (C → B)) → ((P ∧ C) → B) replace proposition variable Q by C in 143
145 (D → (C → B)) → ((D ∧ C) → B) replace proposition variable P by D in 144
146 (D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ C) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 145
147 (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ A in 146
148 ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable D by P ∨ Q in 147
149 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 141, 148
qed

A form for the abbreviation rule form for disjunction (first direction):

3. Proposition
      (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q)     (hilb38)

Proof:
1 P → ¬¬P add proposition hilb5
2 A → ¬¬A replace proposition variable P by A in 1
3 (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 2
4 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1
5 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2
6 (P → A) → (¬P ∨ A) replace proposition variable Q by A in 4
7 (B → A) → (¬B ∨ A) replace proposition variable P by B in 6
8 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1
9 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 8
10 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 9
11 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 10
12 (¬P ∨ A) → (P → A) replace proposition variable Q by A in 5
13 (¬B ∨ A) → (B → A) replace proposition variable P by B in 12
14 Q → ¬¬Q replace proposition variable P by Q in 1
15 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4
16 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 15
17 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 16
18 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 17
19 (D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C)) replace proposition variable B by Q in 18
20 (D → ¬¬P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ ¬¬P)) replace proposition variable C by ¬¬P in 19
21 (P → ¬¬P) → ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) replace proposition variable D by P in 20
22 (Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P) modus ponens with 1, 21
23 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3
24 (P ∨ A) → (A ∨ P) replace proposition variable Q by A in 23
25 (B ∨ A) → (A ∨ B) replace proposition variable P by B in 24
26 (B ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ B) replace proposition variable A by ¬¬P in 25
27 (Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q) replace proposition variable B by Q in 26
28 (D → C) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → C)) replace proposition variable B by Q ∨ P in 11
29 (D → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 28
30 ((Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 29
31 ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 27, 30
32 (Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q) modus ponens with 22, 31
33 (D → C) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → C)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 11
34 (D → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 33
35 ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ P in 34
36 ((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 32, 35
37 (P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q) modus ponens with 23, 36
38 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7
39 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 38
40 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 39
41 (B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 40
42 ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 41
43 ¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q) modus ponens with 37, 42
44 (B → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(P ∨ Q) in 40
45 (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 44
46 ¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 43, 45
47 (D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 18
48 (D → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 47
49 (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ Q) in 48
50 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 46, 49
51 (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 7
52 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 51
53 (D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) in 11
54 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53
55 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q) in 54
56 (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) modus ponens with 50, 55
57 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 52, 56
58 (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13
59 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 58
60 (D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53
61 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 60
62 (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) modus ponens with 59, 61
63 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 57, 62
64 (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 3, 63
65 (D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬P in 18
66 (D → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable C by ¬¬Q in 65
67 (Q → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable D by Q in 66
68 (¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 14, 67
69 (B → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 40
70 ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 69
71 ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 68, 70
72 (B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 40
73 (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 72
74 ¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 71, 73
75 (D → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 47
76 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 75
77 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 74, 76
78 (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 7
79 ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 78
80 (D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 11
81 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80
82 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 81
83 (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) modus ponens with 77, 82
84 ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 79, 83
85 (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 13
86 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 85
87 (D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80
88 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 87
89 (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) modus ponens with 86, 88
90 ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 84, 89
91 (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 64, 90
92 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) reverse abbreviation and in 91 at occurence 1
qed

A form for the abbreviation rule form for disjunction (second direction):

4. Proposition
      ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q)     (hilb39)

Proof:
1 ¬¬P → P add proposition hilb6
2 ¬¬A → A replace proposition variable P by A in 1
3 ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 2
4 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1
5 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2
6 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3
7 (P ∨ A) → (A ∨ P) replace proposition variable Q by A in 6
8 (B ∨ A) → (A ∨ B) replace proposition variable P by B in 7
9 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1
10 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 9
11 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 10
12 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 11
13 (B ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ B) replace proposition variable A by P ∨ Q in 8
14 (P → A) → (¬P ∨ A) replace proposition variable Q by A in 4
15 (B → A) → (¬B ∨ A) replace proposition variable P by B in 14
16 (B → (P ∨ Q)) → (¬B ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable A by P ∨ Q in 15
17 (¬P ∨ A) → (P → A) replace proposition variable Q by A in 5
18 (¬B ∨ A) → (B → A) replace proposition variable P by B in 17
19 (¬B ∨ (P ∨ Q)) → (B → (P ∨ Q)) replace proposition variable A by P ∨ Q in 18
20 ¬¬Q → Q replace proposition variable P by Q in 1
21 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4
22 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 21
23 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 22
24 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 23
25 (D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C)) replace proposition variable B by Q in 24
26 (D → P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ P)) replace proposition variable C by P in 25
27 (¬¬P → P) → ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) replace proposition variable D by ¬¬P in 26
28 (Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P) modus ponens with 1, 27
29 (B ∨ P) → (P ∨ B) replace proposition variable A by P in 8
30 (Q ∨ P) → (P ∨ Q) replace proposition variable B by Q in 29
31 (D → C) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → C)) replace proposition variable B by Q ∨ ¬¬P in 12
32 (D → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 31
33 ((Q ∨ P) → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ P in 32
34 ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) modus ponens with 30, 33
35 (Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q) modus ponens with 28, 34
36 (B ∨ Q) → (Q ∨ B) replace proposition variable A by Q in 8
37 (¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P) replace proposition variable B by ¬¬P in 36
38 (D → C) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → C)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 12
39 (D → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 38
40 ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 39
41 ((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) modus ponens with 35, 40
42 (¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) modus ponens with 37, 41
43 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7
44 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 43
45 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 44
46 (B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by P ∨ Q in 45
47 ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 46
48 ¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 42, 47
49 (B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 45
50 (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 49
51 ¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) modus ponens with 48, 50
52 (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 45
53 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 52
54 ¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 51, 53
55 (D → C) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 24
56 (D → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 55
57 (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 56
58 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 54, 57
59 (B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ B) replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 8
60 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 59
61 (D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 12
62 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 61
63 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 62
64 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 60, 63
65 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 58, 64
66 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 13
67 (D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12
68 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 67
69 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 68
70 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 65, 69
71 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 66, 70
72 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 16
73 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12
74 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 73
75 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 74
76 ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 71, 75
77 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 72, 76
78 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 19
79 (D → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 73
80 ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 79
81 ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) modus ponens with 78, 80
82 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) modus ponens with 77, 81
83 ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) modus ponens with 3, 82
84 (D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬P in 24
85 (D → Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable C by Q in 84
86 (¬¬Q → Q) → ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable D by ¬¬Q in 85
87 (¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q) modus ponens with 20, 86
88 (B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 45
89 ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 88
90 ¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 87, 89
91 (B → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 45
92 (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 91
93 ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 90, 92
94 (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 45
95 (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 94
96 ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 93, 95
97 (D → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 55
98 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 97
99 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 96, 98
100 (B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ B) replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 8
101 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 100
102 (D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 12
103 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 102
104 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 103
105 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 101, 104
106 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 99, 105
107 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13
108 (D → C) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12
109 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 108
110 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 109
111 ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 106, 110
112 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 107, 111
113 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 16
114 (D → C) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12
115 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 114
116 ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 115
117 ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 112, 116
118 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 113, 117
119 (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 19
120 (D → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) in 114
121 ((¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 120
122 ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) modus ponens with 119, 121
123 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)) modus ponens with 118, 122
124 ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) modus ponens with 83, 123
125 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) reverse abbreviation and in 124 at occurence 1
qed

By duality we get the second distributive law (first direction):

5. Proposition
      (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))     (hilb40)

Proof:
1 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) add proposition hilb37
2 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7
3 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 2
4 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 3
5 (B → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬B) replace proposition variable A by P ∨ (Q ∧ A) in 4
6 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 5
7 ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 1, 6
8 P → ¬¬P add proposition hilb5
9 B → ¬¬B replace proposition variable P by B in 8
10 (Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A) replace proposition variable B by Q ∧ A in 9
11 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4
12 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 11
13 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 12
14 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 13
15 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 14
16 (D → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬¬(Q ∧ A) in 15
17 ((Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable D by Q ∧ A in 16
18 (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 10, 17
19 (P → B) → (¬B → ¬P) replace proposition variable Q by B in 2
20 (C → B) → (¬B → ¬C) replace proposition variable P by C in 19
21 (C → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 20
22 ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 21
23 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 18, 22
24 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1
25 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2
26 (C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 20
27 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26
28 ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 23, 27
29 (D → C) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14
30 (D → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 29
31 (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 30
32 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 28, 31
33 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3
34 (P ∨ B) → (B ∨ P) replace proposition variable Q by B in 33
35 (C ∨ B) → (B ∨ C) replace proposition variable P by C in 34
36 (C ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 35
37 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 36
38 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1
39 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 38
40 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 39
41 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 40
42 (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 41
43 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 42
44 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 43
45 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 37, 44
46 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 32, 45
47 (C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 35
48 (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 47
49 (D → C) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
50 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 49
51 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 50
52 ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 46, 51
53 (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 48, 52
54 (P → B) → (¬P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 24
55 (C → B) → (¬C ∨ B) replace proposition variable P by C in 54
56 (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55
57 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 56
58 (D → C) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
59 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58
60 ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 59
61 ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 53, 60
62 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 57, 61
63 (¬P ∨ B) → (P → B) replace proposition variable Q by B in 25
64 (¬C ∨ B) → (C → B) replace proposition variable P by C in 63
65 (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64
66 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 65
67 (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58
68 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 67
69 ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 66, 68
70 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 62, 69
71 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 7, 70
72 ¬¬P → P add proposition hilb6
73 ¬¬A → A replace proposition variable P by A in 72
74 ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 73
75 (P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q) add proposition defand1
76 ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q) add proposition defand2
77 (B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by P ∨ Q in 4
78 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 77
79 ¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q) modus ponens with 74, 78
80 (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14
81 (D → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 80
82 (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) in 81
83 (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) modus ponens with 79, 82
84 (C ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 35
85 (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 84
86 (D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 41
87 (D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 86
88 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 87
89 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 85, 88
90 (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 83, 89
91 (C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 35
92 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 91
93 (D → C) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 41
94 (D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 93
95 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 94
96 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 90, 95
97 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 92, 96
98 (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20
99 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 98
100 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 97, 99
101 (P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B) replace proposition variable Q by B in 75
102 (C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B) replace proposition variable P by C in 101
103 (C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 102
104 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 103
105 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 41
106 (D → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 105
107 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 106
108 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 100, 107
109 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 104, 108
110 ¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B) replace proposition variable Q by B in 76
111 ¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B) replace proposition variable P by C in 110
112 ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 111
113 ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable C by P ∨ Q in 112
114 (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 105
115 (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 114
116 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 113, 115
117 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 109, 116
118 (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20
119 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 118
120 ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 117, 119
121 (D → C) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14
122 (D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121
123 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 122
124 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 120, 123
125 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 56
126 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
127 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126
128 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 127
129 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 124, 128
130 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 125, 129
131 (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64
132 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 131
133 (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126
134 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 133
135 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 132, 134
136 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 130, 135
137 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 71, 136
138 ¬¬B → B replace proposition variable P by B in 72
139 ¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A) replace proposition variable B by P ∨ A in 138
140 (C → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬C) replace proposition variable B by P ∨ A in 20
141 (¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ A) in 140
142 ¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A) modus ponens with 139, 141
143 (D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14
144 (D → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ A) in 143
145 (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) in 144
146 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 142, 145
147 (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 20
148 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 147
149 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 146, 148
150 (C ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 102
151 (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 150
152 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 41
153 (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152
154 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 153
155 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 149, 154
156 (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 151, 155
157 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 112
158 (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 152
159 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 158
160 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 157, 159
161 (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 156, 160
162 (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20
163 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 162
164 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 161, 163
165 (D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 121
166 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 165
167 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 164, 166
168 (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55
169 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 168
170 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
171 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170
172 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 171
173 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) modus ponens with 167, 172
174 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 169, 173
175 (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 64
176 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 175
177 (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170
178 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 177
179 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) modus ponens with 176, 178
180 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 174, 179
181 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 137, 180
182 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) replace proposition variable A by B in 181
183 ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) replace proposition variable Q by C in 182
184 ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) replace proposition variable P by D in 183
185 ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) replace proposition variable B by ¬A in 184
186 ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) replace proposition variable C by ¬Q in 185
187 ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) replace proposition variable D by ¬P in 186
188 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) reverse abbreviation and in 187 at occurence 1
189 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) add proposition hilb38
190 (P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B) replace proposition variable Q by B in 189
191 (C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B) replace proposition variable P by C in 190
192 (C ∨ A) → ¬(¬C ∧ ¬A) replace proposition variable B by A in 191
193 (Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A) replace proposition variable C by Q in 192
194 (C → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20
195 ((Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) replace proposition variable C by Q ∨ A in 194
196 ¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A) modus ponens with 193, 195
197 (D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬P in 14
198 (D → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(Q ∨ A) in 197
199 (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) replace proposition variable D by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 198
200 (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) modus ponens with 196, 199
201 (C → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 20
202 ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 201
203 ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 200, 202
204 (C ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) replace proposition variable B by Q ∨ A in 102
205 (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) replace proposition variable C by P in 204
206 (D → C) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 41
207 (D → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 206
208 (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 207
209 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 203, 208
210 (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 205, 209
211 ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 111
212 ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by P in 211
213 (D → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 206
214 (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 213
215 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 212, 214
216 (P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 210, 215
217 (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20
218 ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 217
219 ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A)) modus ponens with 216, 218
220 (D → C) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 14
221 (D → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 220
222 (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 221
223 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 219, 222
224 (C ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 35
225 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 224
226 (D → C) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 41
227 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 226
228 ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 227
229 ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 225, 228
230 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 223, 229
231 (C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 35
232 (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 231
233 (D → C) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41
234 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 233
235 ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234
236 ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 230, 235
237 (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 232, 236
238 (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 55
239 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 238
240 (D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41
241 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240
242 ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 241
243 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 237, 242
244 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 239, 243
245 (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 64
246 (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 245
247 (D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240
248 ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 247
249 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 246, 248
250 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 244, 249
251 (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) modus ponens with 188, 250
252 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) add proposition hilb39
253 ¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 252
254 ¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B) replace proposition variable P by C in 253
255 ¬(¬C ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (C ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬A) in 254
256 ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) in 255
257 (D → C) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 14
258 (D → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 257
259 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 258
260 (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 256, 259
261 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 238
262 (D → C) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41
263 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262
264 ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 263
265 (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 260, 264
266 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 261, 265
267 (¬C ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 64
268 (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 267
269 (D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262
270 ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 269
271 (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 268, 270
272 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 266, 271
273 (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) modus ponens with 251, 272
274 (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) reverse abbreviation and in 273 at occurence 1
275 (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) reverse abbreviation and in 274 at occurence 1
qed

The second distributive law (second direction):

6. Proposition
      ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))     (hilb41)

Proof:
1 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) add proposition hilb36
2 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7
3 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 2
4 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 3
5 (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬B) replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 4
6 ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 5
7 ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 1, 6
8 ¬¬P → P add proposition hilb6
9 ¬¬B → B replace proposition variable P by B in 8
10 ¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A) replace proposition variable B by Q ∧ A in 9
11 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4
12 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 11
13 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 12
14 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 13
15 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 14
16 (D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by Q ∧ A in 15
17 (¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A)) → ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable D by ¬¬(Q ∧ A) in 16
18 (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 10, 17
19 (P → B) → (¬B → ¬P) replace proposition variable Q by B in 2
20 (C → B) → (¬B → ¬C) replace proposition variable P by C in 19
21 (C → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 20
22 ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 21
23 ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 18, 22
24 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1
25 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2
26 (D → C) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14
27 (D → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26
28 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 27
29 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 23, 28
30 (P → B) → (¬P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 24
31 (C → B) → (¬C ∨ B) replace proposition variable P by C in 30
32 (C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 31
33 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 32
34 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1
35 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 34
36 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 35
37 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 36
38 (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 37
39 (D → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38
40 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 39
41 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 29, 40
42 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 33, 41
43 (¬P ∨ B) → (P → B) replace proposition variable Q by B in 25
44 (¬C ∨ B) → (C → B) replace proposition variable P by C in 43
45 (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 44
46 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45
47 (D → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38
48 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 47
49 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 46, 48
50 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 42, 49
51 ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 7, 50
52 P → ¬¬P add proposition hilb5
53 A → ¬¬A replace proposition variable P by A in 52
54 (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 53
55 (P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q) add proposition defand1
56 ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q) add proposition defand2
57 (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 4
58 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 57
59 ¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q) modus ponens with 54, 58
60 (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14
61 (D → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 60
62 (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 61
63 (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) modus ponens with 59, 62
64 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3
65 (P ∨ B) → (B ∨ P) replace proposition variable Q by B in 64
66 (C ∨ B) → (B ∨ C) replace proposition variable P by C in 65
67 (C ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 66
68 (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 67
69 (D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 37
70 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 69
71 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 70
72 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 68, 71
73 (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 63, 72
74 (C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 66
75 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 74
76 (D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 37
77 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 76
78 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 77
79 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 73, 78
80 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 75, 79
81 (C → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20
82 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 81
83 ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 80, 82
84 (P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B) replace proposition variable Q by B in 55
85 (C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B) replace proposition variable P by C in 84
86 (C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 85
87 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by P ∨ Q in 86
88 (D → C) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37
89 (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 88
90 (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 89
91 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 83, 90
92 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 87, 91
93 ¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B) replace proposition variable Q by B in 56
94 ¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B) replace proposition variable P by C in 93
95 ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 94
96 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 95
97 (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 88
98 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 97
99 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 96, 98
100 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 92, 99
101 (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20
102 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 101
103 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 100, 102
104 (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20
105 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 104
106 ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 103, 105
107 (D → C) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14
108 (D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 107
109 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 108
110 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 106, 109
111 (C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 66
112 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 111
113 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37
114 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 113
115 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 114
116 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 112, 115
117 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 110, 116
118 (C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 66
119 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118
120 (D → C) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
121 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 120
122 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121
123 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 117, 122
124 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 119, 123
125 (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 31
126 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125
127 (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
128 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127
129 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 128
130 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 124, 129
131 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 126, 130
132 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45
133 (D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127
134 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 133
135 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 132, 134
136 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 131, 135
137 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 51, 136
138 B → ¬¬B replace proposition variable P by B in 52
139 (P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A) replace proposition variable B by P ∨ A in 138
140 (C → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 20
141 ((P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by P ∨ A in 140
142 ¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A) modus ponens with 139, 141
143 (D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14
144 (D → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 143
145 (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ A) in 144
146 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 142, 145
147 (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20
148 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 147
149 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 146, 148
150 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 86
151 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37
152 (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 151
153 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152
154 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 149, 153
155 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 150, 154
156 ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (C ∧ ¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 94
157 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 156
158 (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 151
159 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 158
160 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 157, 159
161 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 155, 160
162 (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 20
163 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 162
164 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 161, 163
165 (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20
166 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 165
167 ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 164, 166
168 (D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 107
169 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 168
170 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 167, 169
171 (C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 66
172 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 171
173 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37
174 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 173
175 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 174
176 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 172, 175
177 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 170, 176
178 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118
179 (D → C) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
180 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 179
181 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 180
182 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 177, 181
183 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 178, 182
184 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125
185 (D → C) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
186 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185
187 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 186
188 ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 183, 187
189 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 184, 188
190 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 45
191 (D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185
192 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 191
193 ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 190, 192
194 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 189, 193
195 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 137, 194
196 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) replace proposition variable A by B in 195
197 ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) replace proposition variable Q by C in 196
198 ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) replace proposition variable P by D in 197
199 ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) replace proposition variable B by ¬A in 198
200 ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by ¬Q in 199
201 ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable D by ¬P in 200
202 ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) reverse abbreviation and in 201 at occurence 1
203 ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) reverse abbreviation and in 202 at occurence 1
204 ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) reverse abbreviation and in 203 at occurence 1
205 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) add proposition hilb38
206 (P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B) replace proposition variable Q by B in 205
207 (C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B) replace proposition variable P by C in 206
208 (C ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬C ∧ ¬(P ∧ A)) replace proposition variable B by P ∧ A in 207
209 ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) replace proposition variable C by P ∧ Q in 208
210 (C → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 20
211 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 210
212 ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) modus ponens with 209, 211
213 (D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C)) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 14
214 (D → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 213
215 (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 214
216 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) modus ponens with 212, 215
217 (C ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 66
218 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 217
219 (D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 37
220 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 219
221 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 220
222 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 218, 221
223 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 216, 222
224 (C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 66
225 (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) replace proposition variable C by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 224
226 (D → C) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37
227 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 226
228 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 227
229 ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 223, 228
230 (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 225, 229
231 (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 31
232 (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 231
233 (D → C) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37
234 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233
235 ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234
236 ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 230, 235
237 (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 232, 236
238 (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 44
239 (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 238
240 (D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233
241 ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 240
242 ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 239, 241
243 (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 237, 242
244 ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 204, 243
245 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) add proposition hilb39
246 ¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 245
247 ¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B) replace proposition variable P by C in 246
248 ¬(¬C ∧ ¬A) → (C ∨ A) replace proposition variable B by A in 247
249 ¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A) replace proposition variable C by Q in 248
250 (C → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬C) replace proposition variable B by Q ∨ A in 20
251 (¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 250
252 ¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A) modus ponens with 249, 251
253 (D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬P in 14
254 (D → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 253
255 (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable D by ¬(Q ∨ A) in 254
256 (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 252, 255
257 (C → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 20
258 ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 257
259 ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) modus ponens with 256, 258
260 (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 85
261 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by P in 260
262 (D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → C)) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 37
263 (D → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 262
264 (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 263
265 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) modus ponens with 259, 264
266 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) modus ponens with 261, 265
267 ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) → (C ∧ (Q ∨ A)) replace proposition variable B by Q ∨ A in 94
268 ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) replace proposition variable C by P in 267
269 (D → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 262
270 (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 269
271 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 268, 270
272 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) modus ponens with 266, 271
273 (D → C) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 14
274 (D → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 273
275 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable D by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 274
276 (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 272, 275
277 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 231
278 (D → C) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37
279 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 278
280 ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 279
281 ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) modus ponens with 276, 280
282 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 277, 281
283 (¬C ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (C → (P ∧ (Q ∨ A))) replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 44
284 (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 283
285 (D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) in 278
286 ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 285
287 ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) modus ponens with 284, 286
288 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 282, 287
289 ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) modus ponens with 244, 288
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Cross References

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