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Further Theorems of Propositional Calculus

name: prophilbert3, module version: 1.00.00, rule version: 1.00.00, original: prophilbert3, author of this module: Michael Meyling

Description

This module includes proofs of popositional calculus theorems. The following theorems and proofs are adapted from D. Hilbert and W. Ackermann's `Grundzuege der theoretischen Logik' (Berlin 1928, Springer)

References

This document uses the results of the following documents:

prophilbert2_1.00.00_1.00.00.html

Content

First distributive law (first direction):

1. Proposition
(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) (hilb36)

Proof:

1	(P ∧ Q) → P	add proposition hilb24
2	(P ∧ A) → P	replace proposition variable Q by A in 1
3	(B ∧ A) → B	replace proposition variable P by B in 2
4	(Q ∧ A) → Q	replace proposition variable B by Q in 3
5	(P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q))	add axiom axiom4
6	(P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q))	replace proposition variable A by B in 5
7	(P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C))	replace proposition variable Q by C in 6
8	(D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C))	replace proposition variable P by D in 7
9	(D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C))	replace proposition variable B by P in 8
10	(D → Q) → ((P ∨ D) → (P ∨ Q))	replace proposition variable C by Q in 9
11	((Q ∧ A) → Q) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q))	replace proposition variable D by Q ∧ A in 10
12	(P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)	modus ponens with 4, 11
13	(P ∧ Q) → Q	add proposition hilb25
14	(P ∧ A) → A	replace proposition variable Q by A in 13
15	(B ∧ A) → A	replace proposition variable P by B in 14
16	(Q ∧ A) → A	replace proposition variable B by Q in 15
17	(D → A) → ((P ∨ D) → (P ∨ A))	replace proposition variable C by A in 9
18	((Q ∧ A) → A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A))	replace proposition variable D by Q ∧ A in 17
19	(P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)	modus ponens with 16, 18
20	P → (Q → (P ∧ Q))	add proposition hilb28
21	P → (A → (P ∧ A))	replace proposition variable Q by A in 20
22	B → (A → (B ∧ A))	replace proposition variable P by B in 21
23	B → ((P ∨ A) → (B ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable A by P ∨ A in 22
24	(P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 23
25	(P → Q) → ((A → P) → (A → Q))	add proposition hilb1
26	(P → Q) → ((B → P) → (B → Q))	replace proposition variable A by B in 25
27	(P → C) → ((B → P) → (B → C))	replace proposition variable Q by C in 26
28	(D → C) → ((B → D) → (B → C))	replace proposition variable P by D in 27
29	(D → C) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → C))	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 28
30	(D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29
31	((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by P ∨ Q in 30
32	((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 24, 31
33	(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 12, 32
34	(P → (Q → A)) → (Q → (P → A))	add proposition hilb16
35	(P → (Q → B)) → (Q → (P → B))	replace proposition variable A by B in 34
36	(P → (C → B)) → (C → (P → B))	replace proposition variable Q by C in 35
37	(D → (C → B)) → (C → (D → B))	replace proposition variable P by D in 36
38	(D → (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (C → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37
39	(D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable C by P ∨ A in 38
40	((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable D by P ∨ (Q ∧ A) in 39
41	(P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 33, 40
42	(D → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29
43	((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by P ∨ A in 42
44	((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 41, 43
45	(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 19, 44
46	(P → (P → Q)) → (P → Q)	add proposition hilb33
47	(P → (P → A)) → (P → A)	replace proposition variable Q by A in 46
48	(B → (B → A)) → (B → A)	replace proposition variable P by B in 47
49	(B → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 48
50	((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 49
51	(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 45, 50
	qed

First distributive law (second direction):

2. Proposition
((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) (hilb37)

Proof:

1	P → (Q → (P ∧ Q))	add proposition hilb28
2	P → (A → (P ∧ A))	replace proposition variable Q by A in 1
3	B → (A → (B ∧ A))	replace proposition variable P by B in 2
4	Q → (A → (Q ∧ A))	replace proposition variable B by Q in 3
5	(P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q))	add axiom axiom4
6	(P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q))	replace proposition variable A by B in 5
7	(P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C))	replace proposition variable Q by C in 6
8	(D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C))	replace proposition variable P by D in 7
9	(D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C))	replace proposition variable B by P in 8
10	(D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by Q ∧ A in 9
11	(A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable D by A in 10
12	(P → Q) → ((A → P) → (A → Q))	add proposition hilb1
13	(P → Q) → ((B → P) → (B → Q))	replace proposition variable A by B in 12
14	(P → C) → ((B → P) → (B → C))	replace proposition variable Q by C in 13
15	(D → C) → ((B → D) → (B → C))	replace proposition variable P by D in 14
16	(D → C) → ((Q → D) → (Q → C))	replace proposition variable B by Q in 15
17	(D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → D) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 16
18	((A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by A → (Q ∧ A) in 17
19	(Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 11, 18
20	Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 4, 19
21	(P → (Q → A)) → (Q → (P → A))	add proposition hilb16
22	(P → (Q → B)) → (Q → (P → B))	replace proposition variable A by B in 21
23	(P → (C → B)) → (C → (P → B))	replace proposition variable Q by C in 22
24	(D → (C → B)) → (C → (D → B))	replace proposition variable P by D in 23
25	(D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → (D → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 24
26	(D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (D → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ A in 25
27	(Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by Q in 26
28	(P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 20, 27
29	(D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ D) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 9
30	(Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by Q in 29
31	(D → C) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → C))	replace proposition variable B by P ∨ A in 15
32	(D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 31
33	((Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable D by Q → (P ∨ (Q ∧ A)) in 32
34	((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))	modus ponens with 30, 33
35	(P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 28, 34
36	(P ∨ (Q ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∨ A)	add proposition hilb14
37	(P ∨ (Q ∨ B)) → ((P ∨ Q) ∨ B)	replace proposition variable A by B in 36
38	(P ∨ (C ∨ B)) → ((P ∨ C) ∨ B)	replace proposition variable Q by C in 37
39	(D ∨ (C ∨ B)) → ((D ∨ C) ∨ B)	replace proposition variable P by D in 38
40	(D ∨ (C ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ C) ∨ (Q ∧ A))	replace proposition variable B by Q ∧ A in 39
41	(D ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ P) ∨ (Q ∧ A))	replace proposition variable C by P in 40
42	(P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))	replace proposition variable D by P in 41
43	(P → Q) → (¬P ∨ Q)	add proposition defimpl1
44	(¬P ∨ Q) → (P → Q)	add proposition defimpl2
45	(D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 8
46	(D → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 45
47	((P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 46
48	(¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 42, 47
49	(P → B) → (¬P ∨ B)	replace proposition variable Q by B in 43
50	(C → B) → (¬C ∨ B)	replace proposition variable P by C in 49
51	(C → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable B by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 50
52	((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 51
53	(D → C) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 15
54	(D → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53
55	((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 54
56	(((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 48, 55
57	((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 52, 56
58	(¬P ∨ B) → (P → B)	replace proposition variable Q by B in 44
59	(¬C ∨ B) → (C → B)	replace proposition variable P by C in 58
60	(¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 59
61	(¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 60
62	(D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53
63	((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 62
64	(((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 61, 63
65	((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 57, 64
66	(D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 8
67	(D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 66
68	(((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 67
69	(¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 65, 68
70	(C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 50
71	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by P ∨ A in 70
72	(D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 15
73	(D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72
74	((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 73
75	(((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	modus ponens with 69, 74
76	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 71, 75
77	(¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 59
78	(¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ A in 77
79	(D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72
80	((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 79
81	(((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))	modus ponens with 78, 80
82	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 76, 81
83	(P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 35, 82
84	(P ∨ P) → P	add proposition hilb11
85	(D → C) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ C))	replace proposition variable B by Q ∧ A in 8
86	(D → P) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ P))	replace proposition variable C by P in 85
87	((P ∨ P) → P) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P))	replace proposition variable D by P ∨ P in 86
88	((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)	modus ponens with 84, 87
89	(P ∨ Q) → (Q ∨ P)	add axiom axiom3
90	(P ∨ B) → (B ∨ P)	replace proposition variable Q by B in 89
91	(C ∨ B) → (B ∨ C)	replace proposition variable P by C in 90
92	(C ∨ P) → (P ∨ C)	replace proposition variable B by P in 91
93	((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A))	replace proposition variable C by Q ∧ A in 92
94	(D → C) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → C))	replace proposition variable B by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 15
95	(D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 94
96	(((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ P in 95
97	(((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 93, 96
98	((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))	modus ponens with 88, 97
99	(C ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ C)	replace proposition variable B by Q ∧ A in 91
100	((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))	replace proposition variable C by P ∨ P in 99
101	(D → C) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 15
102	(D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 101
103	(((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 102
104	(((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 98, 103
105	((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))	modus ponens with 100, 104
106	(D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 45
107	(((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 106
108	(¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 105, 107
109	(C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 50
110	((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 109
111	(D → C) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 15
112	(D → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 111
113	((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 112
114	(((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 108, 113
115	((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 110, 114
116	(¬C ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 59
117	(¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 116
118	(D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 111
119	((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 118
120	(((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 117, 119
121	((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 115, 120
122	(D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 66
123	(((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 122
124	(¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 121, 123
125	(C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 50
126	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ A in 125
127	(D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 15
128	(D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127
129	((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 128
130	(((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	modus ponens with 124, 129
131	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 126, 130
132	(¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 59
133	(¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ A in 132
134	(D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127
135	((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 134
136	(((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))	modus ponens with 133, 135
137	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))	modus ponens with 131, 136
138	(P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 83, 137
139	(D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → (D → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 25
140	((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))	replace proposition variable D by P ∨ A in 139
141	(P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))	modus ponens with 138, 140
142	(P → (Q → A)) → ((P ∧ Q) → A)	add proposition hilb29
143	(P → (Q → B)) → ((P ∧ Q) → B)	replace proposition variable A by B in 142
144	(P → (C → B)) → ((P ∧ C) → B)	replace proposition variable Q by C in 143
145	(D → (C → B)) → ((D ∧ C) → B)	replace proposition variable P by D in 144
146	(D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ C) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 145
147	(D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by P ∨ A in 146
148	((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable D by P ∨ Q in 147
149	((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))	modus ponens with 141, 148
	qed

A form for the abbreviation rule form for disjunction (first direction):

3. Proposition
(P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) (hilb38)

Proof:

1	P → ¬¬P	add proposition hilb5
2	A → ¬¬A	replace proposition variable P by A in 1
3	(P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 2
4	(P → Q) → (¬P ∨ Q)	add proposition defimpl1
5	(¬P ∨ Q) → (P → Q)	add proposition defimpl2
6	(P → A) → (¬P ∨ A)	replace proposition variable Q by A in 4
7	(B → A) → (¬B ∨ A)	replace proposition variable P by B in 6
8	(P → Q) → ((A → P) → (A → Q))	add proposition hilb1
9	(P → Q) → ((B → P) → (B → Q))	replace proposition variable A by B in 8
10	(P → C) → ((B → P) → (B → C))	replace proposition variable Q by C in 9
11	(D → C) → ((B → D) → (B → C))	replace proposition variable P by D in 10
12	(¬P ∨ A) → (P → A)	replace proposition variable Q by A in 5
13	(¬B ∨ A) → (B → A)	replace proposition variable P by B in 12
14	Q → ¬¬Q	replace proposition variable P by Q in 1
15	(P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q))	add axiom axiom4
16	(P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q))	replace proposition variable A by B in 15
17	(P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C))	replace proposition variable Q by C in 16
18	(D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C))	replace proposition variable P by D in 17
19	(D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C))	replace proposition variable B by Q in 18
20	(D → ¬¬P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ ¬¬P))	replace proposition variable C by ¬¬P in 19
21	(P → ¬¬P) → ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P))	replace proposition variable D by P in 20
22	(Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)	modus ponens with 1, 21
23	(P ∨ Q) → (Q ∨ P)	add axiom axiom3
24	(P ∨ A) → (A ∨ P)	replace proposition variable Q by A in 23
25	(B ∨ A) → (A ∨ B)	replace proposition variable P by B in 24
26	(B ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ B)	replace proposition variable A by ¬¬P in 25
27	(Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q)	replace proposition variable B by Q in 26
28	(D → C) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → C))	replace proposition variable B by Q ∨ P in 11
29	(D → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 28
30	((Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 29
31	((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))	modus ponens with 27, 30
32	(Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 22, 31
33	(D → C) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → C))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 11
34	(D → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 33
35	((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable D by Q ∨ P in 34
36	((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))	modus ponens with 32, 35
37	(P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 23, 36
38	(P → Q) → (¬Q → ¬P)	add proposition hilb7
39	(P → A) → (¬A → ¬P)	replace proposition variable Q by A in 38
40	(B → A) → (¬A → ¬B)	replace proposition variable P by B in 39
41	(B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 40
42	((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 41
43	¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)	modus ponens with 37, 42
44	(B → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬(P ∨ Q) in 40
45	(¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 44
46	¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 43, 45
47	(D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 18
48	(D → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 47
49	(¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ Q) in 48
50	(¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))	modus ponens with 46, 49
51	(B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(P ∨ Q))	replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 7
52	((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 51
53	(D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) in 11
54	(D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53
55	((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q) in 54
56	(((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))	modus ponens with 50, 55
57	((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))	modus ponens with 52, 56
58	(¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13
59	(¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 58
60	(D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53
61	((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 60
62	(((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))	modus ponens with 59, 61
63	((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))	modus ponens with 57, 62
64	(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 3, 63
65	(D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C))	replace proposition variable B by ¬¬P in 18
66	(D → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable C by ¬¬Q in 65
67	(Q → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable D by Q in 66
68	(¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)	modus ponens with 14, 67
69	(B → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 40
70	((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 69
71	¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 68, 70
72	(B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 40
73	(¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 72
74	¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)	modus ponens with 71, 73
75	(D → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 47
76	(¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))	replace proposition variable D by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 75
77	(¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	modus ponens with 74, 76
78	(B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 7
79	((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 78
80	(D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 11
81	(D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80
82	((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 81
83	(((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))	modus ponens with 77, 82
84	((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	modus ponens with 79, 83
85	(¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 13
86	(¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 85
87	(D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80
88	((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 87
89	(((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))	modus ponens with 86, 88
90	((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	modus ponens with 84, 89
91	(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)	modus ponens with 64, 90
92	(P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q)	reverse abbreviation and in 91 at occurence 1
	qed

A form for the abbreviation rule form for disjunction (second direction):

4. Proposition
¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) (hilb39)

Proof:

1	¬¬P → P	add proposition hilb6
2	¬¬A → A	replace proposition variable P by A in 1
3	¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 2
4	(P → Q) → (¬P ∨ Q)	add proposition defimpl1
5	(¬P ∨ Q) → (P → Q)	add proposition defimpl2
6	(P ∨ Q) → (Q ∨ P)	add axiom axiom3
7	(P ∨ A) → (A ∨ P)	replace proposition variable Q by A in 6
8	(B ∨ A) → (A ∨ B)	replace proposition variable P by B in 7
9	(P → Q) → ((A → P) → (A → Q))	add proposition hilb1
10	(P → Q) → ((B → P) → (B → Q))	replace proposition variable A by B in 9
11	(P → C) → ((B → P) → (B → C))	replace proposition variable Q by C in 10
12	(D → C) → ((B → D) → (B → C))	replace proposition variable P by D in 11
13	(B ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ B)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 8
14	(P → A) → (¬P ∨ A)	replace proposition variable Q by A in 4
15	(B → A) → (¬B ∨ A)	replace proposition variable P by B in 14
16	(B → (P ∨ Q)) → (¬B ∨ (P ∨ Q))	replace proposition variable A by P ∨ Q in 15
17	(¬P ∨ A) → (P → A)	replace proposition variable Q by A in 5
18	(¬B ∨ A) → (B → A)	replace proposition variable P by B in 17
19	(¬B ∨ (P ∨ Q)) → (B → (P ∨ Q))	replace proposition variable A by P ∨ Q in 18
20	¬¬Q → Q	replace proposition variable P by Q in 1
21	(P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q))	add axiom axiom4
22	(P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q))	replace proposition variable A by B in 21
23	(P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C))	replace proposition variable Q by C in 22
24	(D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C))	replace proposition variable P by D in 23
25	(D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C))	replace proposition variable B by Q in 24
26	(D → P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ P))	replace proposition variable C by P in 25
27	(¬¬P → P) → ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P))	replace proposition variable D by ¬¬P in 26
28	(Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)	modus ponens with 1, 27
29	(B ∨ P) → (P ∨ B)	replace proposition variable A by P in 8
30	(Q ∨ P) → (P ∨ Q)	replace proposition variable B by Q in 29
31	(D → C) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → C))	replace proposition variable B by Q ∨ ¬¬P in 12
32	(D → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 31
33	((Q ∨ P) → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)))	replace proposition variable D by Q ∨ P in 32
34	((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))	modus ponens with 30, 33
35	(Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)	modus ponens with 28, 34
36	(B ∨ Q) → (Q ∨ B)	replace proposition variable A by Q in 8
37	(¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)	replace proposition variable B by ¬¬P in 36
38	(D → C) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → C))	replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 12
39	(D → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 38
40	((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))	replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 39
41	((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))	modus ponens with 35, 40
42	(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)	modus ponens with 37, 41
43	(P → Q) → (¬Q → ¬P)	add proposition hilb7
44	(P → A) → (¬A → ¬P)	replace proposition variable Q by A in 43
45	(B → A) → (¬A → ¬B)	replace proposition variable P by B in 44
46	(B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 45
47	((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 46
48	¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 42, 47
49	(B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 45
50	(¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 49
51	¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)	modus ponens with 48, 50
52	(B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 45
53	(¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 52
54	¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 51, 53
55	(D → C) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ C))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 24
56	(D → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 55
57	(¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)))	replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 56
58	((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))	modus ponens with 54, 57
59	(B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ B)	replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 8
60	((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 59
61	(D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 12
62	(D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 61
63	(((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 62
64	(((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))	modus ponens with 60, 63
65	((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))	modus ponens with 58, 64
66	(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 13
67	(D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12
68	(D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 67
69	(((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 68
70	((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))	modus ponens with 65, 69
71	(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))	modus ponens with 66, 70
72	(¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 16
73	(D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12
74	(D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 73
75	((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 74
76	((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))	modus ponens with 71, 75
77	(¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))	modus ponens with 72, 76
78	(¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 19
79	(D → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 73
80	((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 79
81	((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))	modus ponens with 78, 80
82	(¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))	modus ponens with 77, 81
83	¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)	modus ponens with 3, 82
84	(D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C))	replace proposition variable B by ¬¬P in 24
85	(D → Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable C by Q in 84
86	(¬¬Q → Q) → ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable D by ¬¬Q in 85
87	(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 20, 86
88	(B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 45
89	((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable B by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 88
90	¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)	modus ponens with 87, 89
91	(B → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 45
92	(¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 91
93	¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)	modus ponens with 90, 92
94	(B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 45
95	(¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 94
96	¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)	modus ponens with 93, 95
97	(D → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 55
98	(¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))	replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 97
99	((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))	modus ponens with 96, 98
100	(B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ B)	replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 8
101	((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 100
102	(D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 12
103	(D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 102
104	(((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 103
105	(((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))	modus ponens with 101, 104
106	((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))	modus ponens with 99, 105
107	(¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13
108	(D → C) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12
109	(D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 108
110	(((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 109
111	((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))	modus ponens with 106, 110
112	(¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))	modus ponens with 107, 111
113	(¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 16
114	(D → C) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12
115	(D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 114
116	((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 115
117	((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))	modus ponens with 112, 116
118	(¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))	modus ponens with 113, 117
119	(¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 19
120	(D → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) in 114
121	((¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))))	replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 120
122	((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))	modus ponens with 119, 121
123	(¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))	modus ponens with 118, 122
124	¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)	modus ponens with 83, 123
125	¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q)	reverse abbreviation and in 124 at occurence 1
	qed

By duality we get the second distributive law (first direction):

5. Proposition
(P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) (hilb40)

Proof:

1	((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))	add proposition hilb37
2	(P → Q) → (¬Q → ¬P)	add proposition hilb7
3	(P → A) → (¬A → ¬P)	replace proposition variable Q by A in 2
4	(B → A) → (¬A → ¬B)	replace proposition variable P by B in 3
5	(B → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬B)	replace proposition variable A by P ∨ (Q ∧ A) in 4
6	(((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 5
7	¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 1, 6
8	P → ¬¬P	add proposition hilb5
9	B → ¬¬B	replace proposition variable P by B in 8
10	(Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A)	replace proposition variable B by Q ∧ A in 9
11	(P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q))	add axiom axiom4
12	(P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q))	replace proposition variable A by B in 11
13	(P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C))	replace proposition variable Q by C in 12
14	(D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C))	replace proposition variable P by D in 13
15	(D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C))	replace proposition variable B by P in 14
16	(D → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(Q ∧ A) in 15
17	((Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable D by Q ∧ A in 16
18	(P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))	modus ponens with 10, 17
19	(P → B) → (¬B → ¬P)	replace proposition variable Q by B in 2
20	(C → B) → (¬B → ¬C)	replace proposition variable P by C in 19
21	(C → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 20
22	((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 21
23	¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))	modus ponens with 18, 22
24	(P → Q) → (¬P ∨ Q)	add proposition defimpl1
25	(¬P ∨ Q) → (P → Q)	add proposition defimpl2
26	(C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 20
27	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26
28	¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))	modus ponens with 23, 27
29	(D → C) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14
30	(D → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 29
31	(¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 30
32	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 28, 31
33	(P ∨ Q) → (Q ∨ P)	add axiom axiom3
34	(P ∨ B) → (B ∨ P)	replace proposition variable Q by B in 33
35	(C ∨ B) → (B ∨ C)	replace proposition variable P by C in 34
36	(C ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 35
37	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 36
38	(P → Q) → ((A → P) → (A → Q))	add proposition hilb1
39	(P → Q) → ((B → P) → (B → Q))	replace proposition variable A by B in 38
40	(P → C) → ((B → P) → (B → C))	replace proposition variable Q by C in 39
41	(D → C) → ((B → D) → (B → C))	replace proposition variable P by D in 40
42	(D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 41
43	(D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 42
44	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 43
45	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 37, 44
46	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 32, 45
47	(C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 35
48	(¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 47
49	(D → C) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
50	(D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 49
51	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 50
52	((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 46, 51
53	(¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 48, 52
54	(P → B) → (¬P ∨ B)	replace proposition variable Q by B in 24
55	(C → B) → (¬C ∨ B)	replace proposition variable P by C in 54
56	(C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55
57	(¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 56
58	(D → C) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
59	(D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58
60	((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 59
61	((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 53, 60
62	(¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 57, 61
63	(¬P ∨ B) → (P → B)	replace proposition variable Q by B in 25
64	(¬C ∨ B) → (C → B)	replace proposition variable P by C in 63
65	(¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64
66	(¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 65
67	(D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58
68	((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 67
69	((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 66, 68
70	(¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 62, 69
71	¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 7, 70
72	¬¬P → P	add proposition hilb6
73	¬¬A → A	replace proposition variable P by A in 72
74	¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 73
75	(P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q)	add proposition defand1
76	¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q)	add proposition defand2
77	(B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 4
78	(¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 77
79	¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)	modus ponens with 74, 78
80	(D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14
81	(D → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 80
82	(¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) in 81
83	(¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))	modus ponens with 79, 82
84	(C ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 35
85	(¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 84
86	(D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 41
87	(D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 86
88	((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 87
89	((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 85, 88
90	(¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 83, 89
91	(C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 35
92	(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 91
93	(D → C) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 41
94	(D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 93
95	((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 94
96	((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 90, 95
97	(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 92, 96
98	(C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20
99	((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 98
100	¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 97, 99
101	(P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B)	replace proposition variable Q by B in 75
102	(C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B)	replace proposition variable P by C in 101
103	(C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable B by P ∨ A in 102
104	(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 103
105	(D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 41
106	(D → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 105
107	(¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 106
108	((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 100, 107
109	(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 104, 108
110	¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B)	replace proposition variable Q by B in 76
111	¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B)	replace proposition variable P by C in 110
112	¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A))	replace proposition variable B by P ∨ A in 111
113	¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 112
114	(D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 105
115	(¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 114
116	((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 113, 115
117	(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 109, 116
118	(C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20
119	((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 118
120	¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 117, 119
121	(D → C) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14
122	(D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121
123	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 122
124	(¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 120, 123
125	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 56
126	(D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
127	(D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126
128	((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 127
129	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 124, 128
130	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 125, 129
131	(¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64
132	(¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 131
133	(D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126
134	((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 133
135	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	modus ponens with 132, 134
136	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 130, 135
137	¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 71, 136
138	¬¬B → B	replace proposition variable P by B in 72
139	¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A)	replace proposition variable B by P ∨ A in 138
140	(C → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬C)	replace proposition variable B by P ∨ A in 20
141	(¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ A) in 140
142	¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)	modus ponens with 139, 141
143	(D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14
144	(D → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ A) in 143
145	(¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) in 144
146	(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 142, 145
147	(C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 20
148	((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 147
149	¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 146, 148
150	(C ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 102
151	(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 150
152	(D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 41
153	(D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152
154	(¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 153
155	((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 149, 154
156	(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 151, 155
157	¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 112
158	(D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 152
159	(¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 158
160	((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 157, 159
161	(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 156, 160
162	(C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20
163	((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 162
164	¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 161, 163
165	(D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 121
166	(¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 165
167	(¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	modus ponens with 164, 166
168	(C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55
169	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 168
170	(D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41
171	(D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170
172	((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 171
173	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	modus ponens with 167, 172
174	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	modus ponens with 169, 173
175	(¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 64
176	(¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 175
177	(D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170
178	((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 177
179	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	modus ponens with 176, 178
180	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	modus ponens with 174, 179
181	¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 137, 180
182	¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B))	replace proposition variable A by B in 181
183	¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B))	replace proposition variable Q by C in 182
184	¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B))	replace proposition variable P by D in 183
185	¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A))	replace proposition variable B by ¬A in 184
186	¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A))	replace proposition variable C by ¬Q in 185
187	¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))	replace proposition variable D by ¬P in 186
188	(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))	reverse abbreviation and in 187 at occurence 1
189	(P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q)	add proposition hilb38
190	(P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B)	replace proposition variable Q by B in 189
191	(C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B)	replace proposition variable P by C in 190
192	(C ∨ A) → ¬(¬C ∧ ¬A)	replace proposition variable B by A in 191
193	(Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A)	replace proposition variable C by Q in 192
194	(C → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20
195	((Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A))	replace proposition variable C by Q ∨ A in 194
196	¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)	modus ponens with 193, 195
197	(D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C))	replace proposition variable B by ¬P in 14
198	(D → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(Q ∨ A) in 197
199	(¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))	replace proposition variable D by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 198
200	(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))	modus ponens with 196, 199
201	(C → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 20
202	((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 201
203	¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	modus ponens with 200, 202
204	(C ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A))	replace proposition variable B by Q ∨ A in 102
205	(P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))	replace proposition variable C by P in 204
206	(D → C) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 41
207	(D → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))))	replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 206
208	(¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))))	replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 207
209	((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))	modus ponens with 203, 208
210	(P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	modus ponens with 205, 209
211	¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 111
212	¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable C by P in 211
213	(D → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))	replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 206
214	(¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))	replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 213
215	((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	modus ponens with 212, 214
216	(P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))	modus ponens with 210, 215
217	(C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C)	replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20
218	((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A)))	replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 217
219	¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))	modus ponens with 216, 218
220	(D → C) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 14
221	(D → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 220
222	(¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 221
223	(¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))	modus ponens with 219, 222
224	(C ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 35
225	(¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 224
226	(D → C) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 41
227	(D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 226
228	((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 227
229	((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))	modus ponens with 225, 228
230	(¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 223, 229
231	(C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 35
232	(¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 231
233	(D → C) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41
234	(D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 233
235	((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234
236	((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))	modus ponens with 230, 235
237	(¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 232, 236
238	(C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 55
239	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 238
240	(D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41
241	(D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240
242	((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 241
243	(((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))	modus ponens with 237, 242
244	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 239, 243
245	(¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 64
246	(¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 245
247	(D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240
248	((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 247
249	(((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))	modus ponens with 246, 248
250	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 244, 249
251	(P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))	modus ponens with 188, 250
252	¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q)	add proposition hilb39
253	¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B)	replace proposition variable Q by B in 252
254	¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B)	replace proposition variable P by C in 253
255	¬(¬C ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (C ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))	replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬A) in 254
256	¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))	replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) in 255
257	(D → C) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 14
258	(D → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))	replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 257
259	(¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 258
260	(¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 256, 259
261	((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 238
262	(D → C) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41
263	(D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262
264	((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 263
265	(((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))	modus ponens with 260, 264
266	((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 261, 265
267	(¬C ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 64
268	(¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))	replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 267
269	(D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262
270	((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 269
271	(((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))	modus ponens with 268, 270
272	((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))	modus ponens with 266, 271
273	(P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))	modus ponens with 251, 272
274	(P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))	reverse abbreviation and in 273 at occurence 1
275	(P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))	reverse abbreviation and in 274 at occurence 1
	qed

The second distributive law (second direction):

6. Proposition
((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) (hilb41)

Proof:

1	(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	add proposition hilb36
2	(P → Q) → (¬Q → ¬P)	add proposition hilb7
3	(P → A) → (¬A → ¬P)	replace proposition variable Q by A in 2
4	(B → A) → (¬A → ¬B)	replace proposition variable P by B in 3
5	(B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬B)	replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 4
6	((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 5
7	¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))	modus ponens with 1, 6
8	¬¬P → P	add proposition hilb6
9	¬¬B → B	replace proposition variable P by B in 8
10	¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A)	replace proposition variable B by Q ∧ A in 9
11	(P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q))	add axiom axiom4
12	(P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q))	replace proposition variable A by B in 11
13	(P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C))	replace proposition variable Q by C in 12
14	(D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C))	replace proposition variable P by D in 13
15	(D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C))	replace proposition variable B by P in 14
16	(D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by Q ∧ A in 15
17	(¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A)) → ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable D by ¬¬(Q ∧ A) in 16
18	(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))	modus ponens with 10, 17
19	(P → B) → (¬B → ¬P)	replace proposition variable Q by B in 2
20	(C → B) → (¬B → ¬C)	replace proposition variable P by C in 19
21	(C → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 20
22	((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 21
23	¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))	modus ponens with 18, 22
24	(P → Q) → (¬P ∨ Q)	add proposition defimpl1
25	(¬P ∨ Q) → (P → Q)	add proposition defimpl2
26	(D → C) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14
27	(D → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26
28	(¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 27
29	(¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 23, 28
30	(P → B) → (¬P ∨ B)	replace proposition variable Q by B in 24
31	(C → B) → (¬C ∨ B)	replace proposition variable P by C in 30
32	(C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 31
33	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 32
34	(P → Q) → ((A → P) → (A → Q))	add proposition hilb1
35	(P → Q) → ((B → P) → (B → Q))	replace proposition variable A by B in 34
36	(P → C) → ((B → P) → (B → C))	replace proposition variable Q by C in 35
37	(D → C) → ((B → D) → (B → C))	replace proposition variable P by D in 36
38	(D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 37
39	(D → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38
40	((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 39
41	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 29, 40
42	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 33, 41
43	(¬P ∨ B) → (P → B)	replace proposition variable Q by B in 25
44	(¬C ∨ B) → (C → B)	replace proposition variable P by C in 43
45	(¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 44
46	(¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45
47	(D → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38
48	((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 47
49	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 46, 48
50	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 42, 49
51	¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))	modus ponens with 7, 50
52	P → ¬¬P	add proposition hilb5
53	A → ¬¬A	replace proposition variable P by A in 52
54	(P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)	replace proposition variable A by P ∨ Q in 53
55	(P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q)	add proposition defand1
56	¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q)	add proposition defand2
57	(B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B)	replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 4
58	((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q))	replace proposition variable B by P ∨ Q in 57
59	¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)	modus ponens with 54, 58
60	(D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14
61	(D → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 60
62	(¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)))	replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 61
63	(¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))	modus ponens with 59, 62
64	(P ∨ Q) → (Q ∨ P)	add axiom axiom3
65	(P ∨ B) → (B ∨ P)	replace proposition variable Q by B in 64
66	(C ∨ B) → (B ∨ C)	replace proposition variable P by C in 65
67	(C ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 66
68	(¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 67
69	(D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 37
70	(D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 69
71	((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 70
72	((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 68, 71
73	(¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 63, 72
74	(C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 66
75	(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 74
76	(D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 37
77	(D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 76
78	((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 77
79	((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 73, 78
80	(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 75, 79
81	(C → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20
82	((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 81
83	¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 80, 82
84	(P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B)	replace proposition variable Q by B in 55
85	(C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B)	replace proposition variable P by C in 84
86	(C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable B by P ∨ A in 85
87	((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by P ∨ Q in 86
88	(D → C) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37
89	(D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 88
90	(¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 89
91	(((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	modus ponens with 83, 90
92	((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 87, 91
93	¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B)	replace proposition variable Q by B in 56
94	¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B)	replace proposition variable P by C in 93
95	¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A))	replace proposition variable B by P ∨ A in 94
96	¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 95
97	(D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 88
98	(¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 97
99	(((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 96, 98
100	((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 92, 99
101	(C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20
102	(((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 101
103	¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 100, 102
104	(C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20
105	(¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 104
106	¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 103, 105
107	(D → C) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14
108	(D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 107
109	(¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 108
110	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	modus ponens with 106, 109
111	(C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 66
112	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 111
113	(D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37
114	(D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 113
115	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 114
116	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 112, 115
117	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 110, 116
118	(C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 66
119	(¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118
120	(D → C) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
121	(D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 120
122	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121
123	((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 117, 122
124	(¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 119, 123
125	(C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 31
126	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125
127	(D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
128	(D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127
129	((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 128
130	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 124, 129
131	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 126, 130
132	(¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45
133	(D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127
134	((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 133
135	((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 132, 134
136	(¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 131, 135
137	¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))	modus ponens with 51, 136
138	B → ¬¬B	replace proposition variable P by B in 52
139	(P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A)	replace proposition variable B by P ∨ A in 138
140	(C → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 20
141	((P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by P ∨ A in 140
142	¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)	modus ponens with 139, 141
143	(D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14
144	(D → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 143
145	(¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))	replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ A) in 144
146	(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	modus ponens with 142, 145
147	(C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20
148	((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 147
149	¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 146, 148
150	(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 86
151	(D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37
152	(D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 151
153	(¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152
154	((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))	modus ponens with 149, 153
155	(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 150, 154
156	¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (C ∧ ¬¬(P ∨ A))	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 94
157	¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 156
158	(D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 151
159	(¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 158
160	((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	modus ponens with 157, 159
161	(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 155, 160
162	(C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 20
163	((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 162
164	¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))	modus ponens with 161, 163
165	(C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20
166	(¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 165
167	¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))	modus ponens with 164, 166
168	(D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 107
169	(¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 168
170	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))	modus ponens with 167, 169
171	(C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 66
172	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 171
173	(D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37
174	(D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 173
175	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 174
176	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 172, 175
177	(¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 170, 176
178	(¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118
179	(D → C) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
180	(D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 179
181	((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 180
182	((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 177, 181
183	(¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 178, 182
184	(¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125
185	(D → C) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37
186	(D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185
187	((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 186
188	((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 183, 187
189	(¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 184, 188
190	(¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 45
191	(D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185
192	((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 191
193	((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))	modus ponens with 190, 192
194	(¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))	modus ponens with 189, 193
195	¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))	modus ponens with 137, 194
196	¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B))	replace proposition variable A by B in 195
197	¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B))	replace proposition variable Q by C in 196
198	¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B))	replace proposition variable P by D in 197
199	¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A))	replace proposition variable B by ¬A in 198
200	¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable C by ¬Q in 199
201	¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable D by ¬P in 200
202	¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	reverse abbreviation and in 201 at occurence 1
203	¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	reverse abbreviation and in 202 at occurence 1
204	¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))	reverse abbreviation and in 203 at occurence 1
205	(P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q)	add proposition hilb38
206	(P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B)	replace proposition variable Q by B in 205
207	(C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B)	replace proposition variable P by C in 206
208	(C ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬C ∧ ¬(P ∧ A))	replace proposition variable B by P ∧ A in 207
209	((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))	replace proposition variable C by P ∧ Q in 208
210	(C → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 20
211	(((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))	replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 210
212	¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))	modus ponens with 209, 211
213	(D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C))	replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 14
214	(D → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))))	replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 213
215	(¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))))	replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 214
216	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))	modus ponens with 212, 215
217	(C ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C)	replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 66
218	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 217
219	(D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → C))	replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 37
220	(D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 219
221	(((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 220
222	(((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))	modus ponens with 218, 221
223	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	modus ponens with 216, 222
224	(C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C)	replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 66
225	(¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))	replace proposition variable C by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 224
226	(D → C) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37
227	(D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 226
228	(((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 227
229	((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))	modus ponens with 223, 228
230	(¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	modus ponens with 225, 229
231	(C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 31
232	(¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 231
233	(D → C) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37
234	(D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233
235	((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234
236	((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))	modus ponens with 230, 235
237	(¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	modus ponens with 232, 236
238	(¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 44
239	(¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 238
240	(D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233
241	((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))))	replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 240
242	((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))	modus ponens with 239, 241
243	(¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	modus ponens with 237, 242
244	((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))	modus ponens with 204, 243
245	¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q)	add proposition hilb39
246	¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B)	replace proposition variable Q by B in 245
247	¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B)	replace proposition variable P by C in 246
248	¬(¬C ∧ ¬A) → (C ∨ A)	replace proposition variable B by A in 247
249	¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A)	replace proposition variable C by Q in 248
250	(C → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬C)	replace proposition variable B by Q ∨ A in 20
251	(¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable C by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 250
252	¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)	modus ponens with 249, 251
253	(D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C))	replace proposition variable B by ¬P in 14
254	(D → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 253
255	(¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable D by ¬(Q ∨ A) in 254
256	(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	modus ponens with 252, 255
257	(C → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C)	replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 20
258	((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))	replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 257
259	¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))	modus ponens with 256, 258
260	(C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 85
261	(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))	replace proposition variable C by P in 260
262	(D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → C))	replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 37
263	(D → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))))	replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 262
264	(¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 263
265	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))	modus ponens with 259, 264
266	(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))	modus ponens with 261, 265
267	¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) → (C ∧ (Q ∨ A))	replace proposition variable B by Q ∨ A in 94
268	¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))	replace proposition variable C by P in 267
269	(D → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))	replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 262
270	(¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))	replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 269
271	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))	modus ponens with 268, 270
272	(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))	modus ponens with 266, 271
273	(D → C) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C))	replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 14
274	(D → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))	replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 273
275	((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))	replace proposition variable D by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 274
276	(¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))	modus ponens with 272, 275
277	(((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))	replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 231
278	(D → C) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C))	replace proposition variable B by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37
279	(D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))))	replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 278
280	((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 279
281	((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))	modus ponens with 276, 280
282	(((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))	modus ponens with 277, 281
283	(¬C ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (C → (P ∧ (Q ∨ A)))	replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 44
284	(¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))	replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 283
285	(D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))))	replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) in 278
286	((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))))	replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 285
287	((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))	modus ponens with 284, 286
288	(((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))	modus ponens with 282, 287
289	((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))	modus ponens with 244, 288
	qed

Cross References

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