First distributive law (first direction):
1. Proposition
(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) (hilb36)
1 | (P ∧ Q) → P | add proposition hilb24 |
2 | (P ∧ A) → P | replace proposition variable Q by A in 1 |
3 | (B ∧ A) → B | replace proposition variable P by B in 2 |
4 | (Q ∧ A) → Q | replace proposition variable B by Q in 3 |
5 | (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) | add axiom axiom4 |
6 | (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) | replace proposition variable A by B in 5 |
7 | (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) | replace proposition variable Q by C in 6 |
8 | (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) | replace proposition variable P by D in 7 |
9 | (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) | replace proposition variable B by P in 8 |
10 | (D → Q) → ((P ∨ D) → (P ∨ Q)) | replace proposition variable C by Q in 9 |
11 | ((Q ∧ A) → Q) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) | replace proposition variable D by Q ∧ A in 10 |
12 | (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q) | modus ponens with 4, 11 |
13 | (P ∧ Q) → Q | add proposition hilb25 |
14 | (P ∧ A) → A | replace proposition variable Q by A in 13 |
15 | (B ∧ A) → A | replace proposition variable P by B in 14 |
16 | (Q ∧ A) → A | replace proposition variable B by Q in 15 |
17 | (D → A) → ((P ∨ D) → (P ∨ A)) | replace proposition variable C by A in 9 |
18 | ((Q ∧ A) → A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) | replace proposition variable D by Q ∧ A in 17 |
19 | (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A) | modus ponens with 16, 18 |
20 | P → (Q → (P ∧ Q)) | add proposition hilb28 |
21 | P → (A → (P ∧ A)) | replace proposition variable Q by A in 20 |
22 | B → (A → (B ∧ A)) | replace proposition variable P by B in 21 |
23 | B → ((P ∨ A) → (B ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable A by P ∨ A in 22 |
24 | (P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 23 |
25 | (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) | add proposition hilb1 |
26 | (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) | replace proposition variable A by B in 25 |
27 | (P → C) → ((B → P) → (B → C)) | replace proposition variable Q by C in 26 |
28 | (D → C) → ((B → D) → (B → C)) | replace proposition variable P by D in 27 |
29 | (D → C) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → C)) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 28 |
30 | (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29 |
31 | ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by P ∨ Q in 30 |
32 | ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 24, 31 |
33 | (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 12, 32 |
34 | (P → (Q → A)) → (Q → (P → A)) | add proposition hilb16 |
35 | (P → (Q → B)) → (Q → (P → B)) | replace proposition variable A by B in 34 |
36 | (P → (C → B)) → (C → (P → B)) | replace proposition variable Q by C in 35 |
37 | (D → (C → B)) → (C → (D → B)) | replace proposition variable P by D in 36 |
38 | (D → (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (C → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37 |
39 | (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 38 |
40 | ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable D by P ∨ (Q ∧ A) in 39 |
41 | (P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 33, 40 |
42 | (D → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29 |
43 | ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by P ∨ A in 42 |
44 | ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 41, 43 |
45 | (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 19, 44 |
46 | (P → (P → Q)) → (P → Q) | add proposition hilb33 |
47 | (P → (P → A)) → (P → A) | replace proposition variable Q by A in 46 |
48 | (B → (B → A)) → (B → A) | replace proposition variable P by B in 47 |
49 | (B → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 48 |
50 | ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 49 |
51 | (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 45, 50 |
qed |
First distributive law (second direction):
2. Proposition
((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) (hilb37)
1 | P → (Q → (P ∧ Q)) | add proposition hilb28 |
2 | P → (A → (P ∧ A)) | replace proposition variable Q by A in 1 |
3 | B → (A → (B ∧ A)) | replace proposition variable P by B in 2 |
4 | Q → (A → (Q ∧ A)) | replace proposition variable B by Q in 3 |
5 | (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) | add axiom axiom4 |
6 | (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) | replace proposition variable A by B in 5 |
7 | (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) | replace proposition variable Q by C in 6 |
8 | (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) | replace proposition variable P by D in 7 |
9 | (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) | replace proposition variable B by P in 8 |
10 | (D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by Q ∧ A in 9 |
11 | (A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable D by A in 10 |
12 | (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) | add proposition hilb1 |
13 | (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) | replace proposition variable A by B in 12 |
14 | (P → C) → ((B → P) → (B → C)) | replace proposition variable Q by C in 13 |
15 | (D → C) → ((B → D) → (B → C)) | replace proposition variable P by D in 14 |
16 | (D → C) → ((Q → D) → (Q → C)) | replace proposition variable B by Q in 15 |
17 | (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → D) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 16 |
18 | ((A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by A → (Q ∧ A) in 17 |
19 | (Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 11, 18 |
20 | Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 4, 19 |
21 | (P → (Q → A)) → (Q → (P → A)) | add proposition hilb16 |
22 | (P → (Q → B)) → (Q → (P → B)) | replace proposition variable A by B in 21 |
23 | (P → (C → B)) → (C → (P → B)) | replace proposition variable Q by C in 22 |
24 | (D → (C → B)) → (C → (D → B)) | replace proposition variable P by D in 23 |
25 | (D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 24 |
26 | (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 25 |
27 | (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by Q in 26 |
28 | (P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 20, 27 |
29 | (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ D) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 9 |
30 | (Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by Q in 29 |
31 | (D → C) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → C)) | replace proposition variable B by P ∨ A in 15 |
32 | (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 31 |
33 | ((Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable D by Q → (P ∨ (Q ∧ A)) in 32 |
34 | ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) | modus ponens with 30, 33 |
35 | (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 28, 34 |
36 | (P ∨ (Q ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∨ A) | add proposition hilb14 |
37 | (P ∨ (Q ∨ B)) → ((P ∨ Q) ∨ B) | replace proposition variable A by B in 36 |
38 | (P ∨ (C ∨ B)) → ((P ∨ C) ∨ B) | replace proposition variable Q by C in 37 |
39 | (D ∨ (C ∨ B)) → ((D ∨ C) ∨ B) | replace proposition variable P by D in 38 |
40 | (D ∨ (C ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ C) ∨ (Q ∧ A)) | replace proposition variable B by Q ∧ A in 39 |
41 | (D ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) | replace proposition variable C by P in 40 |
42 | (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) | replace proposition variable D by P in 41 |
43 | (P → Q) → (¬P ∨ Q) | add proposition defimpl1 |
44 | (¬P ∨ Q) → (P → Q) | add proposition defimpl2 |
45 | (D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 8 |
46 | (D → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 45 |
47 | ((P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 46 |
48 | (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 42, 47 |
49 | (P → B) → (¬P ∨ B) | replace proposition variable Q by B in 43 |
50 | (C → B) → (¬C ∨ B) | replace proposition variable P by C in 49 |
51 | (C → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable B by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 50 |
52 | ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 51 |
53 | (D → C) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 15 |
54 | (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53 |
55 | ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 54 |
56 | (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 48, 55 |
57 | ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 52, 56 |
58 | (¬P ∨ B) → (P → B) | replace proposition variable Q by B in 44 |
59 | (¬C ∨ B) → (C → B) | replace proposition variable P by C in 58 |
60 | (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 59 |
61 | (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 60 |
62 | (D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53 |
63 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 62 |
64 | (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 61, 63 |
65 | ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 57, 64 |
66 | (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 8 |
67 | (D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 66 |
68 | (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 67 |
69 | (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 65, 68 |
70 | (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 50 |
71 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 70 |
72 | (D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 15 |
73 | (D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72 |
74 | ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 73 |
75 | (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | modus ponens with 69, 74 |
76 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 71, 75 |
77 | (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 59 |
78 | (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 77 |
79 | (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72 |
80 | ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 79 |
81 | (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) | modus ponens with 78, 80 |
82 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 76, 81 |
83 | (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 35, 82 |
84 | (P ∨ P) → P | add proposition hilb11 |
85 | (D → C) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ C)) | replace proposition variable B by Q ∧ A in 8 |
86 | (D → P) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ P)) | replace proposition variable C by P in 85 |
87 | ((P ∨ P) → P) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) | replace proposition variable D by P ∨ P in 86 |
88 | ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P) | modus ponens with 84, 87 |
89 | (P ∨ Q) → (Q ∨ P) | add axiom axiom3 |
90 | (P ∨ B) → (B ∨ P) | replace proposition variable Q by B in 89 |
91 | (C ∨ B) → (B ∨ C) | replace proposition variable P by C in 90 |
92 | (C ∨ P) → (P ∨ C) | replace proposition variable B by P in 91 |
93 | ((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A)) | replace proposition variable C by Q ∧ A in 92 |
94 | (D → C) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → C)) | replace proposition variable B by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 15 |
95 | (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 94 |
96 | (((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ P in 95 |
97 | (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 93, 96 |
98 | ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)) | modus ponens with 88, 97 |
99 | (C ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ C) | replace proposition variable B by Q ∧ A in 91 |
100 | ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) | replace proposition variable C by P ∨ P in 99 |
101 | (D → C) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 15 |
102 | (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 101 |
103 | (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 102 |
104 | (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 98, 103 |
105 | ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) | modus ponens with 100, 104 |
106 | (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 45 |
107 | (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 106 |
108 | (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 105, 107 |
109 | (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 50 |
110 | ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 109 |
111 | (D → C) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 15 |
112 | (D → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 111 |
113 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 112 |
114 | (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 108, 113 |
115 | ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 110, 114 |
116 | (¬C ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → (C → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 59 |
117 | (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 116 |
118 | (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 111 |
119 | ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 118 |
120 | (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 117, 119 |
121 | ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 115, 120 |
122 | (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 66 |
123 | (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 122 |
124 | (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 121, 123 |
125 | (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 50 |
126 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 125 |
127 | (D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 15 |
128 | (D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127 |
129 | ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 128 |
130 | (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | modus ponens with 124, 129 |
131 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 126, 130 |
132 | (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 59 |
133 | (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 132 |
134 | (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127 |
135 | ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 134 |
136 | (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) | modus ponens with 133, 135 |
137 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | modus ponens with 131, 136 |
138 | (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 83, 137 |
139 | (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 25 |
140 | ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by P ∨ A in 139 |
141 | (P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) | modus ponens with 138, 140 |
142 | (P → (Q → A)) → ((P ∧ Q) → A) | add proposition hilb29 |
143 | (P → (Q → B)) → ((P ∧ Q) → B) | replace proposition variable A by B in 142 |
144 | (P → (C → B)) → ((P ∧ C) → B) | replace proposition variable Q by C in 143 |
145 | (D → (C → B)) → ((D ∧ C) → B) | replace proposition variable P by D in 144 |
146 | (D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ C) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 145 |
147 | (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by P ∨ A in 146 |
148 | ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable D by P ∨ Q in 147 |
149 | ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) | modus ponens with 141, 148 |
qed |
A form for the abbreviation rule form for disjunction (first direction):
3. Proposition
(P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) (hilb38)
1 | P → ¬¬P | add proposition hilb5 |
2 | A → ¬¬A | replace proposition variable P by A in 1 |
3 | (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 2 |
4 | (P → Q) → (¬P ∨ Q) | add proposition defimpl1 |
5 | (¬P ∨ Q) → (P → Q) | add proposition defimpl2 |
6 | (P → A) → (¬P ∨ A) | replace proposition variable Q by A in 4 |
7 | (B → A) → (¬B ∨ A) | replace proposition variable P by B in 6 |
8 | (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) | add proposition hilb1 |
9 | (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) | replace proposition variable A by B in 8 |
10 | (P → C) → ((B → P) → (B → C)) | replace proposition variable Q by C in 9 |
11 | (D → C) → ((B → D) → (B → C)) | replace proposition variable P by D in 10 |
12 | (¬P ∨ A) → (P → A) | replace proposition variable Q by A in 5 |
13 | (¬B ∨ A) → (B → A) | replace proposition variable P by B in 12 |
14 | Q → ¬¬Q | replace proposition variable P by Q in 1 |
15 | (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) | add axiom axiom4 |
16 | (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) | replace proposition variable A by B in 15 |
17 | (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) | replace proposition variable Q by C in 16 |
18 | (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) | replace proposition variable P by D in 17 |
19 | (D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C)) | replace proposition variable B by Q in 18 |
20 | (D → ¬¬P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ ¬¬P)) | replace proposition variable C by ¬¬P in 19 |
21 | (P → ¬¬P) → ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) | replace proposition variable D by P in 20 |
22 | (Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P) | modus ponens with 1, 21 |
23 | (P ∨ Q) → (Q ∨ P) | add axiom axiom3 |
24 | (P ∨ A) → (A ∨ P) | replace proposition variable Q by A in 23 |
25 | (B ∨ A) → (A ∨ B) | replace proposition variable P by B in 24 |
26 | (B ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ B) | replace proposition variable A by ¬¬P in 25 |
27 | (Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q) | replace proposition variable B by Q in 26 |
28 | (D → C) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → C)) | replace proposition variable B by Q ∨ P in 11 |
29 | (D → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 28 |
30 | ((Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 29 |
31 | ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) | modus ponens with 27, 30 |
32 | (Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 22, 31 |
33 | (D → C) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → C)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 11 |
34 | (D → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 33 |
35 | ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable D by Q ∨ P in 34 |
36 | ((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) | modus ponens with 32, 35 |
37 | (P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 23, 36 |
38 | (P → Q) → (¬Q → ¬P) | add proposition hilb7 |
39 | (P → A) → (¬A → ¬P) | replace proposition variable Q by A in 38 |
40 | (B → A) → (¬A → ¬B) | replace proposition variable P by B in 39 |
41 | (B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 40 |
42 | ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 41 |
43 | ¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q) | modus ponens with 37, 42 |
44 | (B → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬(P ∨ Q) in 40 |
45 | (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 44 |
46 | ¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 43, 45 |
47 | (D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 18 |
48 | (D → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 47 |
49 | (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ Q) in 48 |
50 | (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | modus ponens with 46, 49 |
51 | (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 7 |
52 | ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 51 |
53 | (D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) in 11 |
54 | (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53 |
55 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q) in 54 |
56 | (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) | modus ponens with 50, 55 |
57 | ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | modus ponens with 52, 56 |
58 | (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13 |
59 | (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 58 |
60 | (D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53 |
61 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 60 |
62 | (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) | modus ponens with 59, 61 |
63 | ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | modus ponens with 57, 62 |
64 | (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 3, 63 |
65 | (D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬¬P in 18 |
66 | (D → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable C by ¬¬Q in 65 |
67 | (Q → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable D by Q in 66 |
68 | (¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q) | modus ponens with 14, 67 |
69 | (B → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 40 |
70 | ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 69 |
71 | ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 68, 70 |
72 | (B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 40 |
73 | (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 72 |
74 | ¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) | modus ponens with 71, 73 |
75 | (D → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 47 |
76 | (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 75 |
77 | (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | modus ponens with 74, 76 |
78 | (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 7 |
79 | ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 78 |
80 | (D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 11 |
81 | (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80 |
82 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 81 |
83 | (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) | modus ponens with 77, 82 |
84 | ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | modus ponens with 79, 83 |
85 | (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 13 |
86 | (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 85 |
87 | (D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80 |
88 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 87 |
89 | (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) | modus ponens with 86, 88 |
90 | ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | modus ponens with 84, 89 |
91 | (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) | modus ponens with 64, 90 |
92 | (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) | reverse abbreviation and in 91 at occurence 1 |
qed |
A form for the abbreviation rule form for disjunction (second direction):
4. Proposition
¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) (hilb39)
1 | ¬¬P → P | add proposition hilb6 |
2 | ¬¬A → A | replace proposition variable P by A in 1 |
3 | ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 2 |
4 | (P → Q) → (¬P ∨ Q) | add proposition defimpl1 |
5 | (¬P ∨ Q) → (P → Q) | add proposition defimpl2 |
6 | (P ∨ Q) → (Q ∨ P) | add axiom axiom3 |
7 | (P ∨ A) → (A ∨ P) | replace proposition variable Q by A in 6 |
8 | (B ∨ A) → (A ∨ B) | replace proposition variable P by B in 7 |
9 | (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) | add proposition hilb1 |
10 | (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) | replace proposition variable A by B in 9 |
11 | (P → C) → ((B → P) → (B → C)) | replace proposition variable Q by C in 10 |
12 | (D → C) → ((B → D) → (B → C)) | replace proposition variable P by D in 11 |
13 | (B ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ B) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 8 |
14 | (P → A) → (¬P ∨ A) | replace proposition variable Q by A in 4 |
15 | (B → A) → (¬B ∨ A) | replace proposition variable P by B in 14 |
16 | (B → (P ∨ Q)) → (¬B ∨ (P ∨ Q)) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 15 |
17 | (¬P ∨ A) → (P → A) | replace proposition variable Q by A in 5 |
18 | (¬B ∨ A) → (B → A) | replace proposition variable P by B in 17 |
19 | (¬B ∨ (P ∨ Q)) → (B → (P ∨ Q)) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 18 |
20 | ¬¬Q → Q | replace proposition variable P by Q in 1 |
21 | (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) | add axiom axiom4 |
22 | (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) | replace proposition variable A by B in 21 |
23 | (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) | replace proposition variable Q by C in 22 |
24 | (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) | replace proposition variable P by D in 23 |
25 | (D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C)) | replace proposition variable B by Q in 24 |
26 | (D → P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ P)) | replace proposition variable C by P in 25 |
27 | (¬¬P → P) → ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) | replace proposition variable D by ¬¬P in 26 |
28 | (Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P) | modus ponens with 1, 27 |
29 | (B ∨ P) → (P ∨ B) | replace proposition variable A by P in 8 |
30 | (Q ∨ P) → (P ∨ Q) | replace proposition variable B by Q in 29 |
31 | (D → C) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → C)) | replace proposition variable B by Q ∨ ¬¬P in 12 |
32 | (D → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 31 |
33 | ((Q ∨ P) → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))) | replace proposition variable D by Q ∨ P in 32 |
34 | ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) | modus ponens with 30, 33 |
35 | (Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q) | modus ponens with 28, 34 |
36 | (B ∨ Q) → (Q ∨ B) | replace proposition variable A by Q in 8 |
37 | (¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P) | replace proposition variable B by ¬¬P in 36 |
38 | (D → C) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 12 |
39 | (D → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 38 |
40 | ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) | replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 39 |
41 | ((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) | modus ponens with 35, 40 |
42 | (¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) | modus ponens with 37, 41 |
43 | (P → Q) → (¬Q → ¬P) | add proposition hilb7 |
44 | (P → A) → (¬A → ¬P) | replace proposition variable Q by A in 43 |
45 | (B → A) → (¬A → ¬B) | replace proposition variable P by B in 44 |
46 | (B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 45 |
47 | ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 46 |
48 | ¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 42, 47 |
49 | (B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 45 |
50 | (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 49 |
51 | ¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) | modus ponens with 48, 50 |
52 | (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 45 |
53 | (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 52 |
54 | ¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 51, 53 |
55 | (D → C) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ C)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 24 |
56 | (D → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 55 |
57 | (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 56 |
58 | ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) | modus ponens with 54, 57 |
59 | (B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ B) | replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 8 |
60 | ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 59 |
61 | (D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 12 |
62 | (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 61 |
63 | (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 62 |
64 | (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) | modus ponens with 60, 63 |
65 | ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) | modus ponens with 58, 64 |
66 | (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 13 |
67 | (D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12 |
68 | (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 67 |
69 | (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 68 |
70 | ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) | modus ponens with 65, 69 |
71 | (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) | modus ponens with 66, 70 |
72 | (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 16 |
73 | (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12 |
74 | (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 73 |
75 | ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 74 |
76 | ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) | modus ponens with 71, 75 |
77 | (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) | modus ponens with 72, 76 |
78 | (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 19 |
79 | (D → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 73 |
80 | ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 79 |
81 | ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) | modus ponens with 78, 80 |
82 | (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) | modus ponens with 77, 81 |
83 | ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) | modus ponens with 3, 82 |
84 | (D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬¬P in 24 |
85 | (D → Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable C by Q in 84 |
86 | (¬¬Q → Q) → ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable D by ¬¬Q in 85 |
87 | (¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 20, 86 |
88 | (B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 45 |
89 | ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable B by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 88 |
90 | ¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) | modus ponens with 87, 89 |
91 | (B → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 45 |
92 | (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 91 |
93 | ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) | modus ponens with 90, 92 |
94 | (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 45 |
95 | (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 94 |
96 | ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) | modus ponens with 93, 95 |
97 | (D → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 55 |
98 | (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 97 |
99 | ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) | modus ponens with 96, 98 |
100 | (B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ B) | replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 8 |
101 | ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 100 |
102 | (D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 12 |
103 | (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 102 |
104 | (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 103 |
105 | (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) | modus ponens with 101, 104 |
106 | ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) | modus ponens with 99, 105 |
107 | (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13 |
108 | (D → C) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12 |
109 | (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 108 |
110 | (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 109 |
111 | ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) | modus ponens with 106, 110 |
112 | (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) | modus ponens with 107, 111 |
113 | (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 16 |
114 | (D → C) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12 |
115 | (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 114 |
116 | ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 115 |
117 | ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) | modus ponens with 112, 116 |
118 | (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) | modus ponens with 113, 117 |
119 | (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 19 |
120 | (D → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) in 114 |
121 | ((¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 120 |
122 | ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) | modus ponens with 119, 121 |
123 | (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)) | modus ponens with 118, 122 |
124 | ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) | modus ponens with 83, 123 |
125 | ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) | reverse abbreviation and in 124 at occurence 1 |
qed |
By duality we get the second distributive law (first direction):
5. Proposition
(P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) (hilb40)
1 | ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) | add proposition hilb37 |
2 | (P → Q) → (¬Q → ¬P) | add proposition hilb7 |
3 | (P → A) → (¬A → ¬P) | replace proposition variable Q by A in 2 |
4 | (B → A) → (¬A → ¬B) | replace proposition variable P by B in 3 |
5 | (B → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬B) | replace proposition variable A by P ∨ (Q ∧ A) in 4 |
6 | (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 5 |
7 | ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 1, 6 |
8 | P → ¬¬P | add proposition hilb5 |
9 | B → ¬¬B | replace proposition variable P by B in 8 |
10 | (Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A) | replace proposition variable B by Q ∧ A in 9 |
11 | (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) | add axiom axiom4 |
12 | (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) | replace proposition variable A by B in 11 |
13 | (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) | replace proposition variable Q by C in 12 |
14 | (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) | replace proposition variable P by D in 13 |
15 | (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) | replace proposition variable B by P in 14 |
16 | (D → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(Q ∧ A) in 15 |
17 | ((Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable D by Q ∧ A in 16 |
18 | (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) | modus ponens with 10, 17 |
19 | (P → B) → (¬B → ¬P) | replace proposition variable Q by B in 2 |
20 | (C → B) → (¬B → ¬C) | replace proposition variable P by C in 19 |
21 | (C → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 20 |
22 | ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 21 |
23 | ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) | modus ponens with 18, 22 |
24 | (P → Q) → (¬P ∨ Q) | add proposition defimpl1 |
25 | (¬P ∨ Q) → (P → Q) | add proposition defimpl2 |
26 | (C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 20 |
27 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26 |
28 | ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) | modus ponens with 23, 27 |
29 | (D → C) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14 |
30 | (D → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 29 |
31 | (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 30 |
32 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 28, 31 |
33 | (P ∨ Q) → (Q ∨ P) | add axiom axiom3 |
34 | (P ∨ B) → (B ∨ P) | replace proposition variable Q by B in 33 |
35 | (C ∨ B) → (B ∨ C) | replace proposition variable P by C in 34 |
36 | (C ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 35 |
37 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 36 |
38 | (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) | add proposition hilb1 |
39 | (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) | replace proposition variable A by B in 38 |
40 | (P → C) → ((B → P) → (B → C)) | replace proposition variable Q by C in 39 |
41 | (D → C) → ((B → D) → (B → C)) | replace proposition variable P by D in 40 |
42 | (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 41 |
43 | (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 42 |
44 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 43 |
45 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 37, 44 |
46 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 32, 45 |
47 | (C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 35 |
48 | (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 47 |
49 | (D → C) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 |
50 | (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 49 |
51 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 50 |
52 | ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 46, 51 |
53 | (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 48, 52 |
54 | (P → B) → (¬P ∨ B) | replace proposition variable Q by B in 24 |
55 | (C → B) → (¬C ∨ B) | replace proposition variable P by C in 54 |
56 | (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55 |
57 | (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 56 |
58 | (D → C) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 |
59 | (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58 |
60 | ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 59 |
61 | ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 53, 60 |
62 | (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 57, 61 |
63 | (¬P ∨ B) → (P → B) | replace proposition variable Q by B in 25 |
64 | (¬C ∨ B) → (C → B) | replace proposition variable P by C in 63 |
65 | (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64 |
66 | (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 65 |
67 | (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58 |
68 | ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 67 |
69 | ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 66, 68 |
70 | (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 62, 69 |
71 | ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 7, 70 |
72 | ¬¬P → P | add proposition hilb6 |
73 | ¬¬A → A | replace proposition variable P by A in 72 |
74 | ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 73 |
75 | (P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q) | add proposition defand1 |
76 | ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q) | add proposition defand2 |
77 | (B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 4 |
78 | (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 77 |
79 | ¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q) | modus ponens with 74, 78 |
80 | (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14 |
81 | (D → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 80 |
82 | (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) in 81 |
83 | (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) | modus ponens with 79, 82 |
84 | (C ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 35 |
85 | (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 84 |
86 | (D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 41 |
87 | (D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 86 |
88 | ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 87 |
89 | ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 85, 88 |
90 | (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 83, 89 |
91 | (C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 35 |
92 | (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 91 |
93 | (D → C) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 41 |
94 | (D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 93 |
95 | ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 94 |
96 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 90, 95 |
97 | (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 92, 96 |
98 | (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20 |
99 | ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 98 |
100 | ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 97, 99 |
101 | (P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B) | replace proposition variable Q by B in 75 |
102 | (C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B) | replace proposition variable P by C in 101 |
103 | (C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable B by P ∨ A in 102 |
104 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 103 |
105 | (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 41 |
106 | (D → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 105 |
107 | (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 106 |
108 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 100, 107 |
109 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 104, 108 |
110 | ¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B) | replace proposition variable Q by B in 76 |
111 | ¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B) | replace proposition variable P by C in 110 |
112 | ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A)) | replace proposition variable B by P ∨ A in 111 |
113 | ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 112 |
114 | (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 105 |
115 | (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 114 |
116 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 113, 115 |
117 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 109, 116 |
118 | (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20 |
119 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 118 |
120 | ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 117, 119 |
121 | (D → C) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14 |
122 | (D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121 |
123 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 122 |
124 | (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 120, 123 |
125 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 56 |
126 | (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 |
127 | (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126 |
128 | ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 127 |
129 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 124, 128 |
130 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 125, 129 |
131 | (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64 |
132 | (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 131 |
133 | (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126 |
134 | ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 133 |
135 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | modus ponens with 132, 134 |
136 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 130, 135 |
137 | ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 71, 136 |
138 | ¬¬B → B | replace proposition variable P by B in 72 |
139 | ¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A) | replace proposition variable B by P ∨ A in 138 |
140 | (C → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬C) | replace proposition variable B by P ∨ A in 20 |
141 | (¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ A) in 140 |
142 | ¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A) | modus ponens with 139, 141 |
143 | (D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14 |
144 | (D → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ A) in 143 |
145 | (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) in 144 |
146 | (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 142, 145 |
147 | (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 20 |
148 | ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 147 |
149 | ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 146, 148 |
150 | (C ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 102 |
151 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 150 |
152 | (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 41 |
153 | (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152 |
154 | (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 153 |
155 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 149, 154 |
156 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 151, 155 |
157 | ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 112 |
158 | (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 152 |
159 | (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 158 |
160 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 157, 159 |
161 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 156, 160 |
162 | (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20 |
163 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 162 |
164 | ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 161, 163 |
165 | (D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 121 |
166 | (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 165 |
167 | (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | modus ponens with 164, 166 |
168 | (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55 |
169 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 168 |
170 | (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 |
171 | (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170 |
172 | ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 171 |
173 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | modus ponens with 167, 172 |
174 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | modus ponens with 169, 173 |
175 | (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 64 |
176 | (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 175 |
177 | (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170 |
178 | ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 177 |
179 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | modus ponens with 176, 178 |
180 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | modus ponens with 174, 179 |
181 | ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 137, 180 |
182 | ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) | replace proposition variable A by B in 181 |
183 | ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) | replace proposition variable Q by C in 182 |
184 | ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) | replace proposition variable P by D in 183 |
185 | ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) | replace proposition variable B by ¬A in 184 |
186 | ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) | replace proposition variable C by ¬Q in 185 |
187 | ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) | replace proposition variable D by ¬P in 186 |
188 | (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) | reverse abbreviation and in 187 at occurence 1 |
189 | (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) | add proposition hilb38 |
190 | (P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B) | replace proposition variable Q by B in 189 |
191 | (C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B) | replace proposition variable P by C in 190 |
192 | (C ∨ A) → ¬(¬C ∧ ¬A) | replace proposition variable B by A in 191 |
193 | (Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A) | replace proposition variable C by Q in 192 |
194 | (C → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20 |
195 | ((Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) | replace proposition variable C by Q ∨ A in 194 |
196 | ¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A) | modus ponens with 193, 195 |
197 | (D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬P in 14 |
198 | (D → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(Q ∨ A) in 197 |
199 | (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 198 |
200 | (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) | modus ponens with 196, 199 |
201 | (C → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 20 |
202 | ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 201 |
203 | ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | modus ponens with 200, 202 |
204 | (C ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) | replace proposition variable B by Q ∨ A in 102 |
205 | (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) | replace proposition variable C by P in 204 |
206 | (D → C) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 41 |
207 | (D → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 206 |
208 | (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 207 |
209 | ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) | modus ponens with 203, 208 |
210 | (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | modus ponens with 205, 209 |
211 | ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 111 |
212 | ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable C by P in 211 |
213 | (D → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) | replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 206 |
214 | (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 213 |
215 | ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | modus ponens with 212, 214 |
216 | (P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) | modus ponens with 210, 215 |
217 | (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C) | replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20 |
218 | ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) | replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 217 |
219 | ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A)) | modus ponens with 216, 218 |
220 | (D → C) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 14 |
221 | (D → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 220 |
222 | (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 221 |
223 | (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) | modus ponens with 219, 222 |
224 | (C ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 35 |
225 | (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 224 |
226 | (D → C) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 41 |
227 | (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 226 |
228 | ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 227 |
229 | ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) | modus ponens with 225, 228 |
230 | (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 223, 229 |
231 | (C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 35 |
232 | (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 231 |
233 | (D → C) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41 |
234 | (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 233 |
235 | ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234 |
236 | ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) | modus ponens with 230, 235 |
237 | (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 232, 236 |
238 | (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 55 |
239 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 238 |
240 | (D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41 |
241 | (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240 |
242 | ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 241 |
243 | (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) | modus ponens with 237, 242 |
244 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 239, 243 |
245 | (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 64 |
246 | (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 245 |
247 | (D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240 |
248 | ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 247 |
249 | (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) | modus ponens with 246, 248 |
250 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 244, 249 |
251 | (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) | modus ponens with 188, 250 |
252 | ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) | add proposition hilb39 |
253 | ¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B) | replace proposition variable Q by B in 252 |
254 | ¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B) | replace proposition variable P by C in 253 |
255 | ¬(¬C ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (C ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) | replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬A) in 254 |
256 | ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) | replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) in 255 |
257 | (D → C) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 14 |
258 | (D → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 257 |
259 | (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 258 |
260 | (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 256, 259 |
261 | ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 238 |
262 | (D → C) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41 |
263 | (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262 |
264 | ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 263 |
265 | (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) | modus ponens with 260, 264 |
266 | ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 261, 265 |
267 | (¬C ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 64 |
268 | (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) | replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 267 |
269 | (D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262 |
270 | ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 269 |
271 | (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) | modus ponens with 268, 270 |
272 | ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) | modus ponens with 266, 271 |
273 | (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) | modus ponens with 251, 272 |
274 | (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) | reverse abbreviation and in 273 at occurence 1 |
275 | (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) | reverse abbreviation and in 274 at occurence 1 |
qed |
The second distributive law (second direction):
6. Proposition
((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) (hilb41)
1 | (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | add proposition hilb36 |
2 | (P → Q) → (¬Q → ¬P) | add proposition hilb7 |
3 | (P → A) → (¬A → ¬P) | replace proposition variable Q by A in 2 |
4 | (B → A) → (¬A → ¬B) | replace proposition variable P by B in 3 |
5 | (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬B) | replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 4 |
6 | ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 5 |
7 | ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) | modus ponens with 1, 6 |
8 | ¬¬P → P | add proposition hilb6 |
9 | ¬¬B → B | replace proposition variable P by B in 8 |
10 | ¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A) | replace proposition variable B by Q ∧ A in 9 |
11 | (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) | add axiom axiom4 |
12 | (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) | replace proposition variable A by B in 11 |
13 | (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) | replace proposition variable Q by C in 12 |
14 | (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) | replace proposition variable P by D in 13 |
15 | (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) | replace proposition variable B by P in 14 |
16 | (D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by Q ∧ A in 15 |
17 | (¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A)) → ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable D by ¬¬(Q ∧ A) in 16 |
18 | (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) | modus ponens with 10, 17 |
19 | (P → B) → (¬B → ¬P) | replace proposition variable Q by B in 2 |
20 | (C → B) → (¬B → ¬C) | replace proposition variable P by C in 19 |
21 | (C → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 20 |
22 | ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 21 |
23 | ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) | modus ponens with 18, 22 |
24 | (P → Q) → (¬P ∨ Q) | add proposition defimpl1 |
25 | (¬P ∨ Q) → (P → Q) | add proposition defimpl2 |
26 | (D → C) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14 |
27 | (D → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26 |
28 | (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 27 |
29 | (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 23, 28 |
30 | (P → B) → (¬P ∨ B) | replace proposition variable Q by B in 24 |
31 | (C → B) → (¬C ∨ B) | replace proposition variable P by C in 30 |
32 | (C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 31 |
33 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 32 |
34 | (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) | add proposition hilb1 |
35 | (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) | replace proposition variable A by B in 34 |
36 | (P → C) → ((B → P) → (B → C)) | replace proposition variable Q by C in 35 |
37 | (D → C) → ((B → D) → (B → C)) | replace proposition variable P by D in 36 |
38 | (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 37 |
39 | (D → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38 |
40 | ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 39 |
41 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 29, 40 |
42 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 33, 41 |
43 | (¬P ∨ B) → (P → B) | replace proposition variable Q by B in 25 |
44 | (¬C ∨ B) → (C → B) | replace proposition variable P by C in 43 |
45 | (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 44 |
46 | (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45 |
47 | (D → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38 |
48 | ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 47 |
49 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 46, 48 |
50 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 42, 49 |
51 | ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) | modus ponens with 7, 50 |
52 | P → ¬¬P | add proposition hilb5 |
53 | A → ¬¬A | replace proposition variable P by A in 52 |
54 | (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) | replace proposition variable A by P ∨ Q in 53 |
55 | (P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q) | add proposition defand1 |
56 | ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q) | add proposition defand2 |
57 | (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B) | replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 4 |
58 | ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable B by P ∨ Q in 57 |
59 | ¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q) | modus ponens with 54, 58 |
60 | (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14 |
61 | (D → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 60 |
62 | (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 61 |
63 | (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) | modus ponens with 59, 62 |
64 | (P ∨ Q) → (Q ∨ P) | add axiom axiom3 |
65 | (P ∨ B) → (B ∨ P) | replace proposition variable Q by B in 64 |
66 | (C ∨ B) → (B ∨ C) | replace proposition variable P by C in 65 |
67 | (C ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 66 |
68 | (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 67 |
69 | (D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 37 |
70 | (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 69 |
71 | ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 70 |
72 | ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 68, 71 |
73 | (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 63, 72 |
74 | (C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 66 |
75 | (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 74 |
76 | (D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 37 |
77 | (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 76 |
78 | ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 77 |
79 | ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 73, 78 |
80 | (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 75, 79 |
81 | (C → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20 |
82 | ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 81 |
83 | ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 80, 82 |
84 | (P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B) | replace proposition variable Q by B in 55 |
85 | (C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B) | replace proposition variable P by C in 84 |
86 | (C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable B by P ∨ A in 85 |
87 | ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by P ∨ Q in 86 |
88 | (D → C) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37 |
89 | (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 88 |
90 | (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 89 |
91 | (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | modus ponens with 83, 90 |
92 | ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 87, 91 |
93 | ¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B) | replace proposition variable Q by B in 56 |
94 | ¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B) | replace proposition variable P by C in 93 |
95 | ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A)) | replace proposition variable B by P ∨ A in 94 |
96 | ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 95 |
97 | (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 88 |
98 | (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 97 |
99 | (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 96, 98 |
100 | ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 92, 99 |
101 | (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20 |
102 | (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 101 |
103 | ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 100, 102 |
104 | (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20 |
105 | (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 104 |
106 | ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 103, 105 |
107 | (D → C) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14 |
108 | (D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 107 |
109 | (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 108 |
110 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | modus ponens with 106, 109 |
111 | (C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 66 |
112 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 111 |
113 | (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37 |
114 | (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 113 |
115 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 114 |
116 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 112, 115 |
117 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 110, 116 |
118 | (C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 66 |
119 | (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118 |
120 | (D → C) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 |
121 | (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 120 |
122 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121 |
123 | ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 117, 122 |
124 | (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 119, 123 |
125 | (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 31 |
126 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125 |
127 | (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 |
128 | (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127 |
129 | ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 128 |
130 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 124, 129 |
131 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 126, 130 |
132 | (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45 |
133 | (D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127 |
134 | ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 133 |
135 | ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 132, 134 |
136 | (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 131, 135 |
137 | ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) | modus ponens with 51, 136 |
138 | B → ¬¬B | replace proposition variable P by B in 52 |
139 | (P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A) | replace proposition variable B by P ∨ A in 138 |
140 | (C → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 20 |
141 | ((P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by P ∨ A in 140 |
142 | ¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A) | modus ponens with 139, 141 |
143 | (D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14 |
144 | (D → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 143 |
145 | (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) | replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ A) in 144 |
146 | (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | modus ponens with 142, 145 |
147 | (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20 |
148 | ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 147 |
149 | ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 146, 148 |
150 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 86 |
151 | (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37 |
152 | (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 151 |
153 | (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152 |
154 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) | modus ponens with 149, 153 |
155 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 150, 154 |
156 | ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (C ∧ ¬¬(P ∨ A)) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 94 |
157 | ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 156 |
158 | (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 151 |
159 | (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 158 |
160 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | modus ponens with 157, 159 |
161 | (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 155, 160 |
162 | (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 20 |
163 | ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 162 |
164 | ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) | modus ponens with 161, 163 |
165 | (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20 |
166 | (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 165 |
167 | ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) | modus ponens with 164, 166 |
168 | (D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 107 |
169 | (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 168 |
170 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) | modus ponens with 167, 169 |
171 | (C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 66 |
172 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 171 |
173 | (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37 |
174 | (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 173 |
175 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 174 |
176 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 172, 175 |
177 | (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 170, 176 |
178 | (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118 |
179 | (D → C) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 |
180 | (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 179 |
181 | ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 180 |
182 | ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 177, 181 |
183 | (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 178, 182 |
184 | (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125 |
185 | (D → C) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 |
186 | (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185 |
187 | ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 186 |
188 | ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 183, 187 |
189 | (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 184, 188 |
190 | (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 45 |
191 | (D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185 |
192 | ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 191 |
193 | ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) | modus ponens with 190, 192 |
194 | (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) | modus ponens with 189, 193 |
195 | ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) | modus ponens with 137, 194 |
196 | ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) | replace proposition variable A by B in 195 |
197 | ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) | replace proposition variable Q by C in 196 |
198 | ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) | replace proposition variable P by D in 197 |
199 | ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) | replace proposition variable B by ¬A in 198 |
200 | ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable C by ¬Q in 199 |
201 | ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable D by ¬P in 200 |
202 | ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | reverse abbreviation and in 201 at occurence 1 |
203 | ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | reverse abbreviation and in 202 at occurence 1 |
204 | ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) | reverse abbreviation and in 203 at occurence 1 |
205 | (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) | add proposition hilb38 |
206 | (P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B) | replace proposition variable Q by B in 205 |
207 | (C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B) | replace proposition variable P by C in 206 |
208 | (C ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬C ∧ ¬(P ∧ A)) | replace proposition variable B by P ∧ A in 207 |
209 | ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) | replace proposition variable C by P ∧ Q in 208 |
210 | (C → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 20 |
211 | (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) | replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 210 |
212 | ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) | modus ponens with 209, 211 |
213 | (D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 14 |
214 | (D → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) | replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 213 |
215 | (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 214 |
216 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) | modus ponens with 212, 215 |
217 | (C ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C) | replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 66 |
218 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 217 |
219 | (D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → C)) | replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 37 |
220 | (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 219 |
221 | (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 220 |
222 | (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) | modus ponens with 218, 221 |
223 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | modus ponens with 216, 222 |
224 | (C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C) | replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 66 |
225 | (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 224 |
226 | (D → C) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37 |
227 | (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 226 |
228 | (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 227 |
229 | ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) | modus ponens with 223, 228 |
230 | (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | modus ponens with 225, 229 |
231 | (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 31 |
232 | (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 231 |
233 | (D → C) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37 |
234 | (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233 |
235 | ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234 |
236 | ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) | modus ponens with 230, 235 |
237 | (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | modus ponens with 232, 236 |
238 | (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 44 |
239 | (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 238 |
240 | (D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233 |
241 | ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) | replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 240 |
242 | ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) | modus ponens with 239, 241 |
243 | (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | modus ponens with 237, 242 |
244 | ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) | modus ponens with 204, 243 |
245 | ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) | add proposition hilb39 |
246 | ¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B) | replace proposition variable Q by B in 245 |
247 | ¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B) | replace proposition variable P by C in 246 |
248 | ¬(¬C ∧ ¬A) → (C ∨ A) | replace proposition variable B by A in 247 |
249 | ¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A) | replace proposition variable C by Q in 248 |
250 | (C → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬C) | replace proposition variable B by Q ∨ A in 20 |
251 | (¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable C by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 250 |
252 | ¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A) | modus ponens with 249, 251 |
253 | (D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬P in 14 |
254 | (D → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 253 |
255 | (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable D by ¬(Q ∨ A) in 254 |
256 | (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | modus ponens with 252, 255 |
257 | (C → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C) | replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 20 |
258 | ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) | replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 257 |
259 | ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) | modus ponens with 256, 258 |
260 | (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 85 |
261 | (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) | replace proposition variable C by P in 260 |
262 | (D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → C)) | replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 37 |
263 | (D → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))) | replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 262 |
264 | (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 263 |
265 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) | modus ponens with 259, 264 |
266 | (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) | modus ponens with 261, 265 |
267 | ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) → (C ∧ (Q ∨ A)) | replace proposition variable B by Q ∨ A in 94 |
268 | ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) | replace proposition variable C by P in 267 |
269 | (D → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) | replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 262 |
270 | (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) | replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 269 |
271 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) | modus ponens with 268, 270 |
272 | (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) | modus ponens with 266, 271 |
273 | (D → C) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C)) | replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 14 |
274 | (D → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) | replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 273 |
275 | ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) | replace proposition variable D by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 274 |
276 | (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) | modus ponens with 272, 275 |
277 | (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) | replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 231 |
278 | (D → C) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) | replace proposition variable B by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37 |
279 | (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))) | replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 278 |
280 | ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 279 |
281 | ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) | modus ponens with 276, 280 |
282 | (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) | modus ponens with 277, 281 |
283 | (¬C ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (C → (P ∧ (Q ∨ A))) | replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 44 |
284 | (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) | replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 283 |
285 | (D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))) | replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) in 278 |
286 | ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))) | replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 285 |
287 | ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) | modus ponens with 284, 286 |
288 | (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) | modus ponens with 282, 287 |
289 | ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) | modus ponens with 244, 288 |
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