# Further Theorems of Propositional Calculus

name: prophilbert3, module version: 1.00.00, rule version: 1.00.00, original: prophilbert3, author of this module: Michael Meyling

## Description

This module includes proofs of popositional calculus theorems. The following theorems and proofs are adapted from D. Hilbert and W. Ackermann's `Grundzuege der theoretischen Logik' (Berlin 1928, Springer)

## References

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## Content

First distributive law (first direction):

1. Proposition
(P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))     (hilb36)

Proof:
 1 (P ∧ Q) → P add proposition hilb24 2 (P ∧ A) → P replace proposition variable Q by A in 1 3 (B ∧ A) → B replace proposition variable P by B in 2 4 (Q ∧ A) → Q replace proposition variable B by Q in 3 5 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4 6 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 5 7 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 6 8 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 7 9 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 8 10 (D → Q) → ((P ∨ D) → (P ∨ Q)) replace proposition variable C by Q in 9 11 ((Q ∧ A) → Q) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) replace proposition variable D by Q ∧ A in 10 12 (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q) modus ponens with 4, 11 13 (P ∧ Q) → Q add proposition hilb25 14 (P ∧ A) → A replace proposition variable Q by A in 13 15 (B ∧ A) → A replace proposition variable P by B in 14 16 (Q ∧ A) → A replace proposition variable B by Q in 15 17 (D → A) → ((P ∨ D) → (P ∨ A)) replace proposition variable C by A in 9 18 ((Q ∧ A) → A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) replace proposition variable D by Q ∧ A in 17 19 (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A) modus ponens with 16, 18 20 P → (Q → (P ∧ Q)) add proposition hilb28 21 P → (A → (P ∧ A)) replace proposition variable Q by A in 20 22 B → (A → (B ∧ A)) replace proposition variable P by B in 21 23 B → ((P ∨ A) → (B ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable A by P ∨ A in 22 24 (P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by P ∨ Q in 23 25 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1 26 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 25 27 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 26 28 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 27 29 (D → C) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → C)) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 28 30 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29 31 ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by P ∨ Q in 30 32 ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ Q)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 24, 31 33 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 12, 32 34 (P → (Q → A)) → (Q → (P → A)) add proposition hilb16 35 (P → (Q → B)) → (Q → (P → B)) replace proposition variable A by B in 34 36 (P → (C → B)) → (C → (P → B)) replace proposition variable Q by C in 35 37 (D → (C → B)) → (C → (D → B)) replace proposition variable P by D in 36 38 (D → (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (C → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37 39 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 38 40 ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by P ∨ (Q ∧ A) in 39 41 (P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 33, 40 42 (D → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → D) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 29 43 ((P ∨ A) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by P ∨ A in 42 44 ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 41, 43 45 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 19, 44 46 (P → (P → Q)) → (P → Q) add proposition hilb33 47 (P → (P → A)) → (P → A) replace proposition variable Q by A in 46 48 (B → (B → A)) → (B → A) replace proposition variable P by B in 47 49 (B → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 48 50 ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 49 51 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 45, 50 qed

First distributive law (second direction):

2. Proposition
((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))     (hilb37)

Proof:
 1 P → (Q → (P ∧ Q)) add proposition hilb28 2 P → (A → (P ∧ A)) replace proposition variable Q by A in 1 3 B → (A → (B ∧ A)) replace proposition variable P by B in 2 4 Q → (A → (Q ∧ A)) replace proposition variable B by Q in 3 5 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4 6 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 5 7 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 6 8 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 7 9 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 8 10 (D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by Q ∧ A in 9 11 (A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable D by A in 10 12 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1 13 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 12 14 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 13 15 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 14 16 (D → C) → ((Q → D) → (Q → C)) replace proposition variable B by Q in 15 17 (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → D) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 16 18 ((A → (Q ∧ A)) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by A → (Q ∧ A) in 17 19 (Q → (A → (Q ∧ A))) → (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 11, 18 20 Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 4, 19 21 (P → (Q → A)) → (Q → (P → A)) add proposition hilb16 22 (P → (Q → B)) → (Q → (P → B)) replace proposition variable A by B in 21 23 (P → (C → B)) → (C → (P → B)) replace proposition variable Q by C in 22 24 (D → (C → B)) → (C → (D → B)) replace proposition variable P by D in 23 25 (D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 24 26 (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 25 27 (Q → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by Q in 26 28 (P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 20, 27 29 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ D) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 9 30 (Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by Q in 29 31 (D → C) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → C)) replace proposition variable B by P ∨ A in 15 32 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → D) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 31 33 ((Q → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by Q → (P ∨ (Q ∧ A)) in 32 34 ((P ∨ A) → (Q → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 30, 33 35 (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 28, 34 36 (P ∨ (Q ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∨ A) add proposition hilb14 37 (P ∨ (Q ∨ B)) → ((P ∨ Q) ∨ B) replace proposition variable A by B in 36 38 (P ∨ (C ∨ B)) → ((P ∨ C) ∨ B) replace proposition variable Q by C in 37 39 (D ∨ (C ∨ B)) → ((D ∨ C) ∨ B) replace proposition variable P by D in 38 40 (D ∨ (C ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ C) ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable B by Q ∧ A in 39 41 (D ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((D ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable C by P in 40 42 (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable D by P in 41 43 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1 44 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2 45 (D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 8 46 (D → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 45 47 ((P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 46 48 (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 42, 47 49 (P → B) → (¬P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 43 50 (C → B) → (¬C ∨ B) replace proposition variable P by C in 49 51 (C → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 50 52 ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 51 53 (D → C) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 15 54 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53 55 ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 54 56 (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 48, 55 57 ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 52, 56 58 (¬P ∨ B) → (P → B) replace proposition variable Q by B in 44 59 (¬C ∨ B) → (C → B) replace proposition variable P by C in 58 60 (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 59 61 (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 60 62 (D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 53 63 ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 62 64 (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 61, 63 65 ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 57, 64 66 (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 8 67 (D → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 66 68 (((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 67 69 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 65, 68 70 (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) in 50 71 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by P ∨ A in 70 72 (D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 15 73 (D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72 74 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) in 73 75 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 69, 74 76 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 71, 75 77 (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 59 78 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 77 79 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 72 80 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 79 81 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 78, 80 82 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 76, 81 83 (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 35, 82 84 (P ∨ P) → P add proposition hilb11 85 (D → C) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ C)) replace proposition variable B by Q ∧ A in 8 86 (D → P) → (((Q ∧ A) ∨ D) → ((Q ∧ A) ∨ P)) replace proposition variable C by P in 85 87 ((P ∨ P) → P) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) replace proposition variable D by P ∨ P in 86 88 ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P) modus ponens with 84, 87 89 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3 90 (P ∨ B) → (B ∨ P) replace proposition variable Q by B in 89 91 (C ∨ B) → (B ∨ C) replace proposition variable P by C in 90 92 (C ∨ P) → (P ∨ C) replace proposition variable B by P in 91 93 ((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A)) replace proposition variable C by Q ∧ A in 92 94 (D → C) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → C)) replace proposition variable B by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 15 95 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → D) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 94 96 (((Q ∧ A) ∨ P) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ P in 95 97 (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → ((Q ∧ A) ∨ P)) → (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 93, 96 98 ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 88, 97 99 (C ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ C) replace proposition variable B by Q ∧ A in 91 100 ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) replace proposition variable C by P ∨ P in 99 101 (D → C) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 15 102 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → D) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 101 103 (((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by (Q ∧ A) ∨ (P ∨ P) in 102 104 (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → ((Q ∧ A) ∨ (P ∨ P))) → (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 98, 103 105 ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 100, 104 106 (D → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 45 107 (((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 106 108 (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 105, 107 109 (C → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by (P ∨ P) ∨ (Q ∧ A) in 50 110 ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 109 111 (D → C) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 15 112 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 111 113 ((¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 112 114 (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 108, 113 115 ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 110, 114 116 (¬C ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → (C → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 59 117 (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 116 118 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → D) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 111 119 ((¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)) in 118 120 (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 117, 119 121 ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 115, 120 122 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 66 123 (((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 122 124 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 121, 123 125 (C → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬C ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)) in 50 126 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 125 127 (D → C) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 15 128 (D → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127 129 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))) in 128 130 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 124, 129 131 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 126, 130 132 (¬C ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (C → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)) in 59 133 (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ A in 132 134 (D → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → D) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable C by (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 127 135 ((¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → ((((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) in 134 136 (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → (¬(P ∨ A) ∨ ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) → (((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))))) modus ponens with 133, 135 137 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ P) ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) modus ponens with 131, 136 138 (P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 83, 137 139 (D → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → (D → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 25 140 ((P ∨ A) → ((P ∨ Q) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) replace proposition variable D by P ∨ A in 139 141 (P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A))) modus ponens with 138, 140 142 (P → (Q → A)) → ((P ∧ Q) → A) add proposition hilb29 143 (P → (Q → B)) → ((P ∧ Q) → B) replace proposition variable A by B in 142 144 (P → (C → B)) → ((P ∧ C) → B) replace proposition variable Q by C in 143 145 (D → (C → B)) → ((D ∧ C) → B) replace proposition variable P by D in 144 146 (D → (C → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ C) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 145 147 (D → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → ((D ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ A in 146 148 ((P ∨ Q) → ((P ∨ A) → (P ∨ (Q ∧ A)))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable D by P ∨ Q in 147 149 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 141, 148 qed

A form for the abbreviation rule form for disjunction (first direction):

3. Proposition
(P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q)     (hilb38)

Proof:
 1 P → ¬¬P add proposition hilb5 2 A → ¬¬A replace proposition variable P by A in 1 3 (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 2 4 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1 5 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2 6 (P → A) → (¬P ∨ A) replace proposition variable Q by A in 4 7 (B → A) → (¬B ∨ A) replace proposition variable P by B in 6 8 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1 9 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 8 10 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 9 11 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 10 12 (¬P ∨ A) → (P → A) replace proposition variable Q by A in 5 13 (¬B ∨ A) → (B → A) replace proposition variable P by B in 12 14 Q → ¬¬Q replace proposition variable P by Q in 1 15 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4 16 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 15 17 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 16 18 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 17 19 (D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C)) replace proposition variable B by Q in 18 20 (D → ¬¬P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ ¬¬P)) replace proposition variable C by ¬¬P in 19 21 (P → ¬¬P) → ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) replace proposition variable D by P in 20 22 (Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P) modus ponens with 1, 21 23 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3 24 (P ∨ A) → (A ∨ P) replace proposition variable Q by A in 23 25 (B ∨ A) → (A ∨ B) replace proposition variable P by B in 24 26 (B ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ B) replace proposition variable A by ¬¬P in 25 27 (Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q) replace proposition variable B by Q in 26 28 (D → C) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → C)) replace proposition variable B by Q ∨ P in 11 29 (D → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → D) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 28 30 ((Q ∨ ¬¬P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 29 31 ((Q ∨ P) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 27, 30 32 (Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q) modus ponens with 22, 31 33 (D → C) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → C)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 11 34 (D → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → D) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬P ∨ Q in 33 35 ((Q ∨ P) → (¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ P in 34 36 ((P ∨ Q) → (Q ∨ P)) → ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 32, 35 37 (P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q) modus ponens with 23, 36 38 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7 39 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 38 40 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 39 41 (B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 40 42 ((P ∨ Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 41 43 ¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q) modus ponens with 37, 42 44 (B → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(P ∨ Q) in 40 45 (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 44 46 ¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 43, 45 47 (D → C) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 18 48 (D → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 47 49 (¬¬(P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ Q) in 48 50 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 46, 49 51 (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 7 52 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 51 53 (D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) in 11 54 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53 55 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q) in 54 56 (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) modus ponens with 50, 55 57 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 52, 56 58 (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13 59 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 58 60 (D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 53 61 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 60 62 (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q))) modus ponens with 59, 61 63 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 57, 62 64 (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 3, 63 65 (D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬P in 18 66 (D → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable C by ¬¬Q in 65 67 (Q → ¬¬Q) → ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable D by Q in 66 68 (¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 14, 67 69 (B → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 40 70 ((¬¬P ∨ Q) → (¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 69 71 ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 68, 70 72 (B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 40 73 (¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 72 74 ¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 71, 73 75 (D → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 47 76 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 75 77 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 74, 76 78 (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 7 79 ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 78 80 (D → C) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 11 81 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80 82 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 81 83 (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) modus ponens with 77, 82 84 ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 79, 83 85 (¬B ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (B → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 13 86 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 85 87 (D → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 80 88 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → ((((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 87 89 (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) modus ponens with 86, 88 90 ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 84, 89 91 (P ∨ Q) → ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 64, 90 92 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) reverse abbreviation and in 91 at occurence 1 qed

A form for the abbreviation rule form for disjunction (second direction):

4. Proposition
¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q)     (hilb39)

Proof:
 1 ¬¬P → P add proposition hilb6 2 ¬¬A → A replace proposition variable P by A in 1 3 ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 2 4 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1 5 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2 6 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3 7 (P ∨ A) → (A ∨ P) replace proposition variable Q by A in 6 8 (B ∨ A) → (A ∨ B) replace proposition variable P by B in 7 9 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1 10 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 9 11 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 10 12 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 11 13 (B ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ B) replace proposition variable A by P ∨ Q in 8 14 (P → A) → (¬P ∨ A) replace proposition variable Q by A in 4 15 (B → A) → (¬B ∨ A) replace proposition variable P by B in 14 16 (B → (P ∨ Q)) → (¬B ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable A by P ∨ Q in 15 17 (¬P ∨ A) → (P → A) replace proposition variable Q by A in 5 18 (¬B ∨ A) → (B → A) replace proposition variable P by B in 17 19 (¬B ∨ (P ∨ Q)) → (B → (P ∨ Q)) replace proposition variable A by P ∨ Q in 18 20 ¬¬Q → Q replace proposition variable P by Q in 1 21 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4 22 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 21 23 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 22 24 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 23 25 (D → C) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ C)) replace proposition variable B by Q in 24 26 (D → P) → ((Q ∨ D) → (Q ∨ P)) replace proposition variable C by P in 25 27 (¬¬P → P) → ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) replace proposition variable D by ¬¬P in 26 28 (Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P) modus ponens with 1, 27 29 (B ∨ P) → (P ∨ B) replace proposition variable A by P in 8 30 (Q ∨ P) → (P ∨ Q) replace proposition variable B by Q in 29 31 (D → C) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → C)) replace proposition variable B by Q ∨ ¬¬P in 12 32 (D → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → D) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 31 33 ((Q ∨ P) → (P ∨ Q)) → (((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ P in 32 34 ((Q ∨ ¬¬P) → (Q ∨ P)) → ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) modus ponens with 30, 33 35 (Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q) modus ponens with 28, 34 36 (B ∨ Q) → (Q ∨ B) replace proposition variable A by Q in 8 37 (¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P) replace proposition variable B by ¬¬P in 36 38 (D → C) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → C)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 12 39 (D → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → D) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) replace proposition variable C by P ∨ Q in 38 40 ((Q ∨ ¬¬P) → (P ∨ Q)) → (((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) replace proposition variable D by Q ∨ ¬¬P in 39 41 ((¬¬P ∨ Q) → (Q ∨ ¬¬P)) → ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) modus ponens with 35, 40 42 (¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) modus ponens with 37, 41 43 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7 44 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 43 45 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 44 46 (B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by P ∨ Q in 45 47 ((¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ Q in 46 48 ¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 42, 47 49 (B → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ Q) in 45 50 (¬(P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 49 51 ¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) modus ponens with 48, 50 52 (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 45 53 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 52 54 ¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 51, 53 55 (D → C) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 24 56 (D → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 55 57 (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 56 58 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) modus ponens with 54, 57 59 (B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ B) replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 8 60 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 59 61 (D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 12 62 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 61 63 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 62 64 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 60, 63 65 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 58, 64 66 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 13 67 (D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12 68 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 67 69 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 68 70 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 65, 69 71 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 66, 70 72 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 16 73 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12 74 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 73 75 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 74 76 ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 71, 75 77 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 72, 76 78 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 19 79 (D → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 73 80 ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 79 81 ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q))) modus ponens with 78, 80 82 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) modus ponens with 77, 81 83 ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) modus ponens with 3, 82 84 (D → C) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬P in 24 85 (D → Q) → ((¬¬P ∨ D) → (¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable C by Q in 84 86 (¬¬Q → Q) → ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable D by ¬¬Q in 85 87 (¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q) modus ponens with 20, 86 88 (B → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬P ∨ Q in 45 89 ((¬¬P ∨ ¬¬Q) → (¬¬P ∨ Q)) → (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by ¬¬P ∨ ¬¬Q in 88 90 ¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 87, 89 91 (B → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 45 92 (¬(¬¬P ∨ Q) → ¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬(¬¬P ∨ Q) in 91 93 ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q) modus ponens with 90, 92 94 (B → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 45 95 (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → ¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 94 96 ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) modus ponens with 93, 95 97 (D → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ D) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 55 98 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) → ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 97 99 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) modus ponens with 96, 98 100 (B ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ B) replace proposition variable A by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 8 101 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 100 102 (D → C) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 12 103 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → D) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 102 104 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 103 105 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q))) → (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 101, 104 106 ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 99, 105 107 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 13 108 (D → C) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 12 109 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 108 110 (((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by (P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) in 109 111 ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → ((P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(¬¬P ∨ Q))) → ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 106, 110 112 (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 107, 111 113 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) in 16 114 (D → C) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q) in 12 115 (D → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 114 116 ((¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q) in 115 117 ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) modus ponens with 112, 116 118 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) modus ponens with 113, 117 119 (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) in 19 120 (D → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → D) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) in 114 121 ((¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) → (((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)))) replace proposition variable D by ¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q) in 120 122 ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) ∨ (P ∨ Q))) → ((¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q))) modus ponens with 119, 121 123 (¬¬(¬¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q)) modus ponens with 118, 122 124 ¬¬(¬¬P ∨ ¬¬Q) → (P ∨ Q) modus ponens with 83, 123 125 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) reverse abbreviation and in 124 at occurence 1 qed

By duality we get the second distributive law (first direction):

5. Proposition
(P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))     (hilb40)

Proof:
 1 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) add proposition hilb37 2 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7 3 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 2 4 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 3 5 (B → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬B) replace proposition variable A by P ∨ (Q ∧ A) in 4 6 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 5 7 ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 1, 6 8 P → ¬¬P add proposition hilb5 9 B → ¬¬B replace proposition variable P by B in 8 10 (Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A) replace proposition variable B by Q ∧ A in 9 11 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4 12 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 11 13 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 12 14 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 13 15 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 14 16 (D → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬¬(Q ∧ A) in 15 17 ((Q ∧ A) → ¬¬(Q ∧ A)) → ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable D by Q ∧ A in 16 18 (P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 10, 17 19 (P → B) → (¬B → ¬P) replace proposition variable Q by B in 2 20 (C → B) → (¬B → ¬C) replace proposition variable P by C in 19 21 (C → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 20 22 ((P ∨ (Q ∧ A)) → (P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ (Q ∧ A) in 21 23 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 18, 22 24 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1 25 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2 26 (C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 20 27 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26 28 ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 23, 27 29 (D → C) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14 30 (D → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 29 31 (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 30 32 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 28, 31 33 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3 34 (P ∨ B) → (B ∨ P) replace proposition variable Q by B in 33 35 (C ∨ B) → (B ∨ C) replace proposition variable P by C in 34 36 (C ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 35 37 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 36 38 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1 39 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 38 40 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 39 41 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 40 42 (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 41 43 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 42 44 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 43 45 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 37, 44 46 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 32, 45 47 (C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 35 48 (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 47 49 (D → C) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 50 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 49 51 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 50 52 ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 46, 51 53 (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 48, 52 54 (P → B) → (¬P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 24 55 (C → B) → (¬C ∨ B) replace proposition variable P by C in 54 56 (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55 57 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 56 58 (D → C) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 59 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58 60 ((¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 59 61 ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ (Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 53, 60 62 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 57, 61 63 (¬P ∨ B) → (P → B) replace proposition variable Q by B in 25 64 (¬C ∨ B) → (C → B) replace proposition variable P by C in 63 65 (¬C ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64 66 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 65 67 (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 58 68 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 67 69 ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 66, 68 70 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 62, 69 71 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 7, 70 72 ¬¬P → P add proposition hilb6 73 ¬¬A → A replace proposition variable P by A in 72 74 ¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 73 75 (P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q) add proposition defand1 76 ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q) add proposition defand2 77 (B → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by P ∨ Q in 4 78 (¬¬(P ∨ Q) → (P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) in 77 79 ¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q) modus ponens with 74, 78 80 (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14 81 (D → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 80 82 (¬(P ∨ Q) → ¬¬¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ Q) in 81 83 (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) modus ponens with 79, 82 84 (C ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 35 85 (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 84 86 (D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 41 87 (D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 86 88 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 87 89 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 85, 88 90 (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 83, 89 91 (C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 35 92 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 91 93 (D → C) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 41 94 (D → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 93 95 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 94 96 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 90, 95 97 (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 92, 96 98 (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20 99 ((¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 98 100 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 97, 99 101 (P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B) replace proposition variable Q by B in 75 102 (C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B) replace proposition variable P by C in 101 103 (C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 102 104 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 103 105 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 41 106 (D → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 105 107 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 106 108 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 100, 107 109 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 104, 108 110 ¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B) replace proposition variable Q by B in 76 111 ¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B) replace proposition variable P by C in 110 112 ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 111 113 ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable C by P ∨ Q in 112 114 (D → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 105 115 (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 114 116 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 113, 115 117 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 109, 116 118 (C → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20 119 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 118 120 ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 117, 119 121 (D → C) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14 122 (D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121 123 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 122 124 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 120, 123 125 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 56 126 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 127 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126 128 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 127 129 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 124, 128 130 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 125, 129 131 (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 64 132 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 131 133 (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 126 134 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 133 135 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) modus ponens with 132, 134 136 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 130, 135 137 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 71, 136 138 ¬¬B → B replace proposition variable P by B in 72 139 ¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A) replace proposition variable B by P ∨ A in 138 140 (C → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬C) replace proposition variable B by P ∨ A in 20 141 (¬¬(P ∨ A) → (P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ A) in 140 142 ¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A) modus ponens with 139, 141 143 (D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14 144 (D → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ A) in 143 145 (¬(P ∨ A) → ¬¬¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) in 144 146 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 142, 145 147 (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 20 148 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 147 149 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 146, 148 150 (C ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 102 151 (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 150 152 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 41 153 (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152 154 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 153 155 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 149, 154 156 (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 151, 155 157 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 112 158 (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 152 159 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 158 160 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 157, 159 161 (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 156, 160 162 (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20 163 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 162 164 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 161, 163 165 (D → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 121 166 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 165 167 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 164, 166 168 (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 55 169 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 168 170 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 41 171 (D → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170 172 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 171 173 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) modus ponens with 167, 172 174 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 169, 173 175 (¬C ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 64 176 (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 175 177 (D → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 170 178 ((¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 177 179 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) modus ponens with 176, 178 180 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 174, 179 181 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 137, 180 182 ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) replace proposition variable A by B in 181 183 ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) replace proposition variable Q by C in 182 184 ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) replace proposition variable P by D in 183 185 ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) replace proposition variable B by ¬A in 184 186 ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) replace proposition variable C by ¬Q in 185 187 ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) replace proposition variable D by ¬P in 186 188 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) reverse abbreviation and in 187 at occurence 1 189 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) add proposition hilb38 190 (P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B) replace proposition variable Q by B in 189 191 (C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B) replace proposition variable P by C in 190 192 (C ∨ A) → ¬(¬C ∧ ¬A) replace proposition variable B by A in 191 193 (Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A) replace proposition variable C by Q in 192 194 (C → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20 195 ((Q ∨ A) → ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) replace proposition variable C by Q ∨ A in 194 196 ¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A) modus ponens with 193, 195 197 (D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬P in 14 198 (D → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(Q ∨ A) in 197 199 (¬¬(¬Q ∧ ¬A) → ¬(Q ∨ A)) → ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) replace proposition variable D by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 198 200 (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) modus ponens with 196, 199 201 (C → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 20 202 ((¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 201 203 ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 200, 202 204 (C ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) replace proposition variable B by Q ∨ A in 102 205 (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) replace proposition variable C by P in 204 206 (D → C) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 41 207 (D → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 206 208 (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 207 209 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 203, 208 210 (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 205, 209 211 ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 111 212 ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by P in 211 213 (D → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → D) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 206 214 (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 213 215 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 212, 214 216 (P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 210, 215 217 (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 20 218 ((P ∧ (Q ∨ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 217 219 ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A)) modus ponens with 216, 218 220 (D → C) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 14 221 (D → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ D) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 220 222 (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 221 223 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 219, 222 224 (C ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 35 225 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 224 226 (D → C) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 41 227 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 226 228 ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 227 229 ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ (Q ∨ A)))) → ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 225, 228 230 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 223, 229 231 (C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 35 232 (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 231 233 (D → C) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41 234 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 233 235 ((¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234 236 ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) ∨ ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 230, 235 237 (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 232, 236 238 (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 55 239 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 238 240 (D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41 241 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240 242 ((¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 241 243 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 237, 242 244 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 239, 243 245 (¬C ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable B by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 64 246 (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 245 247 (D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 240 248 ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 247 249 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 246, 248 250 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 244, 249 251 (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) modus ponens with 188, 250 252 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) add proposition hilb39 253 ¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 252 254 ¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B) replace proposition variable P by C in 253 255 ¬(¬C ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (C ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬A) in 254 256 ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) in 255 257 (D → C) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) in 14 258 (D → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ D) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 257 259 (¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 258 260 (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 256, 259 261 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 238 262 (D → C) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 41 263 (D → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262 264 ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) in 263 265 (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 260, 264 266 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 261, 265 267 (¬C ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → (C → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable B by ¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A) in 64 268 (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 267 269 (D → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → D) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable C by (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 262 270 ((¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → ((((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) in 269 271 (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → (¬(P ∧ (Q ∨ A)) ∨ (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) → (((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)))) modus ponens with 268, 270 272 ((P ∧ (Q ∨ A)) → ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A))) → ((P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A))) modus ponens with 266, 271 273 (P ∧ (Q ∨ A)) → (¬(¬P ∨ ¬Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) modus ponens with 251, 272 274 (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ ¬(¬P ∨ ¬A)) reverse abbreviation and in 273 at occurence 1 275 (P ∧ (Q ∨ A)) → ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) reverse abbreviation and in 274 at occurence 1 qed

The second distributive law (second direction):

6. Proposition
((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))     (hilb41)

Proof:
 1 (P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) add proposition hilb36 2 (P → Q) → (¬Q → ¬P) add proposition hilb7 3 (P → A) → (¬A → ¬P) replace proposition variable Q by A in 2 4 (B → A) → (¬A → ¬B) replace proposition variable P by B in 3 5 (B → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬B) replace proposition variable A by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 4 6 ((P ∨ (Q ∧ A)) → ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 5 7 ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 1, 6 8 ¬¬P → P add proposition hilb6 9 ¬¬B → B replace proposition variable P by B in 8 10 ¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A) replace proposition variable B by Q ∧ A in 9 11 (P → Q) → ((A ∨ P) → (A ∨ Q)) add axiom axiom4 12 (P → Q) → ((B ∨ P) → (B ∨ Q)) replace proposition variable A by B in 11 13 (P → C) → ((B ∨ P) → (B ∨ C)) replace proposition variable Q by C in 12 14 (D → C) → ((B ∨ D) → (B ∨ C)) replace proposition variable P by D in 13 15 (D → C) → ((P ∨ D) → (P ∨ C)) replace proposition variable B by P in 14 16 (D → (Q ∧ A)) → ((P ∨ D) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by Q ∧ A in 15 17 (¬¬(Q ∧ A) → (Q ∧ A)) → ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable D by ¬¬(Q ∧ A) in 16 18 (P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A)) modus ponens with 10, 17 19 (P → B) → (¬B → ¬P) replace proposition variable Q by B in 2 20 (C → B) → (¬B → ¬C) replace proposition variable P by C in 19 21 (C → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by P ∨ (Q ∧ A) in 20 22 ((P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) → (P ∨ (Q ∧ A))) → (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by P ∨ ¬¬(Q ∧ A) in 21 23 ¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 18, 22 24 (P → Q) → (¬P ∨ Q) add proposition defimpl1 25 (¬P ∨ Q) → (P → Q) add proposition defimpl2 26 (D → C) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 14 27 (D → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ D) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 26 28 (¬(P ∨ (Q ∧ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 27 29 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 23, 28 30 (P → B) → (¬P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 24 31 (C → B) → (¬C ∨ B) replace proposition variable P by C in 30 32 (C → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable B by ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 31 33 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 32 34 (P → Q) → ((A → P) → (A → Q)) add proposition hilb1 35 (P → Q) → ((B → P) → (B → Q)) replace proposition variable A by B in 34 36 (P → C) → ((B → P) → (B → C)) replace proposition variable Q by C in 35 37 (D → C) → ((B → D) → (B → C)) replace proposition variable P by D in 36 38 (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 37 39 (D → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38 40 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)) in 39 41 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ (Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 29, 40 42 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 33, 41 43 (¬P ∨ B) → (P → B) replace proposition variable Q by B in 25 44 (¬C ∨ B) → (C → B) replace proposition variable P by C in 43 45 (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 44 46 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45 47 (D → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 38 48 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 47 49 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 46, 48 50 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ (Q ∧ A))) → (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 42, 49 51 ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 7, 50 52 P → ¬¬P add proposition hilb5 53 A → ¬¬A replace proposition variable P by A in 52 54 (P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q) replace proposition variable A by P ∨ Q in 53 55 (P ∧ Q) → ¬(¬P ∨ ¬Q) add proposition defand1 56 ¬(¬P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q) add proposition defand2 57 (B → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬B) replace proposition variable A by ¬¬(P ∨ Q) in 4 58 ((P ∨ Q) → ¬¬(P ∨ Q)) → (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) replace proposition variable B by P ∨ Q in 57 59 ¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q) modus ponens with 54, 58 60 (D → C) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 14 61 (D → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ D) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) in 60 62 (¬¬¬(P ∨ Q) → ¬(P ∨ Q)) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ Q) in 61 63 (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) modus ponens with 59, 62 64 (P ∨ Q) → (Q ∨ P) add axiom axiom3 65 (P ∨ B) → (B ∨ P) replace proposition variable Q by B in 64 66 (C ∨ B) → (B ∨ C) replace proposition variable P by C in 65 67 (C ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) in 66 68 (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 67 69 (D → C) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 37 70 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → D) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 69 71 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q) in 70 72 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬(P ∨ Q))) → ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 68, 71 73 (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 63, 72 74 (C ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ A) in 66 75 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) in 74 76 (D → C) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 37 77 (D → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → D) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 76 78 ((¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q) in 77 79 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ A) ∨ ¬¬¬(P ∨ Q))) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 73, 78 80 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 75, 79 81 (C → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20 82 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 81 83 ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 80, 82 84 (P ∧ B) → ¬(¬P ∨ ¬B) replace proposition variable Q by B in 55 85 (C ∧ B) → ¬(¬C ∨ ¬B) replace proposition variable P by C in 84 86 (C ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 85 87 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by P ∨ Q in 86 88 (D → C) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37 89 (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 88 90 (¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 89 91 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) modus ponens with 83, 90 92 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 87, 91 93 ¬(¬P ∨ ¬B) → (P ∧ B) replace proposition variable Q by B in 56 94 ¬(¬C ∨ ¬B) → (C ∧ B) replace proposition variable P by C in 93 95 ¬(¬C ∨ ¬(P ∨ A)) → (C ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable B by P ∨ A in 94 96 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 95 97 (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 88 98 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 97 99 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 96, 98 100 ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 92, 99 101 (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 20 102 (((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by (P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 101 103 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 100, 102 104 (C → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20 105 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 104 106 ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 103, 105 107 (D → C) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 14 108 (D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 107 109 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 108 110 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) modus ponens with 106, 109 111 (C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 66 112 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 111 113 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37 114 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 113 115 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 114 116 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 112, 115 117 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 110, 116 118 (C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 66 119 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118 120 (D → C) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 121 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 120 122 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 121 123 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 117, 122 124 (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 119, 123 125 (C → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬C ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 31 126 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125 127 (D → C) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 128 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127 129 ((¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 128 130 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 124, 129 131 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 126, 130 132 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 45 133 (D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 127 134 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 133 135 ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 132, 134 136 (¬((P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 131, 135 137 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 51, 136 138 B → ¬¬B replace proposition variable P by B in 52 139 (P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A) replace proposition variable B by P ∨ A in 138 140 (C → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 20 141 ((P ∨ A) → ¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by P ∨ A in 140 142 ¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A) modus ponens with 139, 141 143 (D → C) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) in 14 144 (D → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ D) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ A) in 143 145 (¬¬¬(P ∨ A) → ¬(P ∨ A)) → ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) replace proposition variable D by ¬¬¬(P ∨ A) in 144 146 (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) modus ponens with 142, 145 147 (C → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A) in 20 148 ((¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A) in 147 149 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 146, 148 150 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 86 151 (D → C) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 37 152 (D → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 151 153 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A)) in 152 154 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 149, 153 155 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 150, 154 156 ¬(¬C ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (C ∧ ¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ A) in 94 157 ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) in 156 158 (D → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → D) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 151 159 (¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A)) in 158 160 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(¬¬¬(P ∨ Q) ∨ ¬¬¬(P ∨ A))) → ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 157, 159 161 (¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 155, 160 162 (C → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A) in 20 163 ((¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → (¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A) in 162 164 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) modus ponens with 161, 163 165 (C → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 20 166 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 165 167 ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) modus ponens with 164, 166 168 (D → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ D) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 107 169 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 168 170 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) modus ponens with 167, 169 171 (C ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 66 172 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 171 173 (D → C) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 37 174 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → D) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 173 175 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 174 176 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)))) → ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 172, 175 177 (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 170, 176 178 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 118 179 (D → C) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 180 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 179 181 ((¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 180 182 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) ∨ ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)))) → ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 177, 181 183 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 178, 182 184 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) in 125 185 (D → C) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 37 186 (D → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185 187 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 186 188 ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 183, 187 189 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 184, 188 190 (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) in 45 191 (D → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → D) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable C by ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 185 192 ((¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → (((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) in 191 193 ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) ∨ ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) → ((¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)))) modus ponens with 190, 192 194 (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) → (¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A))) modus ponens with 189, 193 195 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ A)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ A)) modus ponens with 137, 194 196 ¬(¬¬(P ∨ Q) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(Q ∧ B)) replace proposition variable A by B in 195 197 ¬(¬¬(P ∨ C) ∧ ¬¬(P ∨ B)) → ¬(P ∨ ¬¬(C ∧ B)) replace proposition variable Q by C in 196 198 ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ B)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ B)) replace proposition variable P by D in 197 199 ¬(¬¬(D ∨ C) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(C ∧ ¬A)) replace proposition variable B by ¬A in 198 200 ¬(¬¬(D ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(D ∨ ¬A)) → ¬(D ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by ¬Q in 199 201 ¬(¬¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable D by ¬P in 200 202 ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬¬(¬P ∨ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) reverse abbreviation and in 201 at occurence 1 203 ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) reverse abbreviation and in 202 at occurence 1 204 ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) reverse abbreviation and in 203 at occurence 1 205 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) add proposition hilb38 206 (P ∨ B) → ¬(¬P ∧ ¬B) replace proposition variable Q by B in 205 207 (C ∨ B) → ¬(¬C ∧ ¬B) replace proposition variable P by C in 206 208 (C ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬C ∧ ¬(P ∧ A)) replace proposition variable B by P ∧ A in 207 209 ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) replace proposition variable C by P ∧ Q in 208 210 (C → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 20 211 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 210 212 ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) modus ponens with 209, 211 213 (D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C)) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 14 214 (D → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 213 215 (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 214 216 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) modus ponens with 212, 215 217 (C ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C) replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 66 218 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 217 219 (D → C) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → C)) replace proposition variable B by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 37 220 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → D) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 219 221 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 220 222 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 218, 221 223 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 216, 222 224 (C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ C) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 66 225 (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) replace proposition variable C by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 224 226 (D → C) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37 227 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 226 228 (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 227 229 ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) ∨ ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)))) → ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 223, 228 230 (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 225, 229 231 (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 31 232 (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) in 231 233 (D → C) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37 234 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233 235 ((¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 234 236 ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 230, 235 237 (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 232, 236 238 (¬C ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (C → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 44 239 (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 238 240 (D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 233 241 ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → (((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 240 242 ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) modus ponens with 239, 241 243 (¬(¬(P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) modus ponens with 237, 242 244 ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 204, 243 245 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) add proposition hilb39 246 ¬(¬P ∧ ¬B) → (P ∨ B) replace proposition variable Q by B in 245 247 ¬(¬C ∧ ¬B) → (C ∨ B) replace proposition variable P by C in 246 248 ¬(¬C ∧ ¬A) → (C ∨ A) replace proposition variable B by A in 247 249 ¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A) replace proposition variable C by Q in 248 250 (C → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬C) replace proposition variable B by Q ∨ A in 20 251 (¬(¬Q ∧ ¬A) → (Q ∨ A)) → (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 250 252 ¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A) modus ponens with 249, 251 253 (D → C) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ C)) replace proposition variable B by ¬P in 14 254 (D → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ D) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 253 255 (¬(Q ∨ A) → ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable D by ¬(Q ∨ A) in 254 256 (¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) modus ponens with 252, 255 257 (C → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬C) replace proposition variable B by ¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A) in 20 258 ((¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) replace proposition variable C by ¬P ∨ ¬(Q ∨ A) in 257 259 ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) modus ponens with 256, 258 260 (C ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬C ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable B by ¬(¬Q ∧ ¬A) in 85 261 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) replace proposition variable C by P in 260 262 (D → C) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → C)) replace proposition variable B by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 37 263 (D → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))) replace proposition variable C by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 262 264 (¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A)) in 263 265 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬¬(¬Q ∧ ¬A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) modus ponens with 259, 264 266 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) modus ponens with 261, 265 267 ¬(¬C ∨ ¬(Q ∨ A)) → (C ∧ (Q ∨ A)) replace proposition variable B by Q ∨ A in 94 268 ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) replace proposition variable C by P in 267 269 (D → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → D) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 262 270 (¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable D by ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A)) in 269 271 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → ¬(¬P ∨ ¬(Q ∨ A))) → ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 268, 270 272 (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) modus ponens with 266, 271 273 (D → C) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ C)) replace proposition variable B by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) in 14 274 (D → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ D) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable C by P ∧ (Q ∨ A) in 273 275 ((P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) → ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) replace proposition variable D by P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A) in 274 276 (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 272, 275 277 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 231 278 (D → C) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → C)) replace proposition variable B by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 37 279 (D → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable C by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 278 280 ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)) in 279 281 ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) modus ponens with 276, 280 282 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 277, 281 283 (¬C ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (C → (P ∧ (Q ∨ A))) replace proposition variable B by P ∧ (Q ∨ A) in 44 284 (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) replace proposition variable C by (P ∧ Q) ∨ (P ∧ A) in 283 285 (D → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → D) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable C by ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) in 278 286 ((¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) → (((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))))) replace proposition variable D by ¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)) in 285 287 ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (¬((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) ∨ (P ∧ (Q ∨ A)))) → ((((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)))) modus ponens with 284, 286 288 (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ ¬(¬Q ∧ ¬A))) → (((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A))) modus ponens with 282, 287 289 ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ A)) → (P ∧ (Q ∨ A)) modus ponens with 244, 288 qed

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